質問です
ダルブーの定理の証明は

∀ε>0, ∃分割D、0<s-s(D)<ε/2
が下積分sの定義から成り立つ
Dを1つ固定する。Dと任意のΔの分点を全て含む分割をΔ'とすると
0≤s(Δ')-s(Δ)であり、∀ε>0、0≤s(Δ')-s(D)<ε/2
d(Δ)→0より∃e、d(Δ)<e
となるΔのみを考えればよい
Δによって生ずる全ての小区間には高々1つしか分点はない
Dによる分割の数nk(D)は
0≤nk(D)≤n
m≤mk≤mkl≤M、∑v(Ikl)=v(Ik)
ここでIklはΔ'による小区間、mkl=inf f(x)、x∈Ikl

dk=∑(mkl-mk) v(Ikl)
nk=0の時、dk=0
nk>0の時、dk≤(M-m)v(Ik)
∴0≤s(Δ')-s(Δ)≤(M-m)∑v(Ik)≤c(M-m)d(Δ)
ここでc≥0はΔに依存しない実数

∀ε>0, ∃δ、0<δ<Min{e, ε/2(c+1)(M-m+1)}となる
∵c=0またはM-m=0となる場合があるのでc+1>0かつM-m+1>0となるようにした

d(Δ)<δとなる任意のΔに対して
0≤s(⊿')-s(⊿)<ε/2
よって0≤s-s(Δ)
=(s-s(D))-(s(Δ')-s(D))+(s(Δ')-s(⊿))
<(s-s(D))+(s(Δ')-s(⊿))
<ε/2+ε/2=ε
∴s(⊿)→sが証明された

V(⊿)≤cd(⊿)を導く
体積を考えてΠ(ai-bi)d(⊿)=cid(⊿)
ri個の分割に対してはri個分の小区間×体積が対応するから
cirid(⊿)=cd(⊿)とおけばcはDとIには依存するがΔには依存しない

で合ってますか