大学学部レベル質問スレ 24単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・質問は正確にすること、教科書で定義を確かめること
・高校生以下の質問はそれぞれのスレへ
・自作問題は禁止
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

>>553
>コンパクト集合上の連続関数は一様連続であるということですか
もちよ

質問です
有界閉集合はコンパクトである
I上連続⇒I上一様連続である
d(δ)→0となる分割Δを任意に取ると
x, y∈Ik⇒|x-y|≤d(Δ)<δ⇒|f(x)-f(y)|<εとなる
よって∀k∈K(Δ)、a(f; Ik)≤ε
が成り立つから
∑a(f; Ik)v(Ik)≤εv(I)
よってfは可積分条件を満たすので
I上可積分である

>>554
ありがとうございます

質問です

最後の質問です
h=f-gと置いてh≥0に帰着させる。
∃x0、h(x0)>0となる
a=h(x0)/2>0と置く
hは連続関数であるから
∃ε>0、U(x0; ε)∩I上でh(x)>aとなる

この部分、つまり有界閉区間Iでh(x)>aを満たすx=x0を含む閉集合をJとすると体積v(J)>0。
区間加法性と単調性により∫h≤∑a
Iの分割⊿の中で、1つの小区間がIk=Jとなるものをとる。
∑∫Ik h≥∫J h≥av(J)>0
線型性より∫f>∫gとなる

一点でもf(x0)>g(x0)となると、連続性により積分で等号は外れる。

なぜ教科書に書いてあることをわざわざ質問するのですか？

ちうか質問なのこれ

分かっていて反応するアホ

>>561
>分かっていて反応するアホ
ID:ObjD6Wyz

効いてるな

ほんと変なやついついちゃったよな
何でこいつ数学板にいるんだろ？

ほんと変なやついついちゃったよな
何でこいつ数学板にいるんだろ？

人間性に問題ありそう

人間性に問題ありそう

幼稚だね君

劣等感が強いのかも？

でも考えてみると
この板には劣等感肥大化して居座る人
結構見かけるから
単にその一員というだけか

杉浦光夫著『解析入門I』

p.78

例3

D := {z ∈ R^2 : |z| < 1}
E := {z ∈ R^2 : |z| > 1}
B := D ∪ E
「円に関するジョルダンの定理」などと書いて、B は連結でないことを長々と証明しています。

D, E はともに空でない R^2 の開集合です。
D ∩ E は明らかに空集合です。
ですので、定義によって、 B は連結ではありません。

小平邦彦さんならばこのようなことにはならないと思います。

例とかで少し独自性を出そうとするとすぐに化けの皮が剥がれるという例ではないでしょうか。

驚くべきことは、1980年03月31日の初版発行から45年経とうとしているにもかかわらず、誰もこのことを指摘する人がいなかったことです。

そして、約45年の星霜を経てようやくこうして明るみになったわけです。

自分が50年にひとりの天才と悦に浸るゴミ

ゴミ坂君って何年前からおったんやったっけ?
もう40代超えとんのかな

10年はいる、高校中退だろ、デビュー時幾つかは不明

ニートだろ

>>571
お前連結の定義(定義1)読んでないだろ

>>579

p.76 定義1

R^n の開集合 U は、空でない二つの開集合の直和とならないとき連結という。

D := {z ∈ R^2 : |z| < 1}
E := {z ∈ R^2 : |z| > 1}
B := D ∪ E

B = D ∪ E は R^2 の開集合であり、 R^2 の空でない二つの開集合 D, E の直和です。

>>571,572,573,574,580
いつもの低知能
の荒らし

>>579
どういう意図だったんですかね？

>>582
お前は何のために数学を勉強してるんだ？

>>571,572,573,574,580,582
き　ち　が　い

>>582
高校中退だろ

>>582
お前幾つだ？

杉浦光夫著『解析入門I』

p.86 例12

I を R の区間とする。
f : I → R^n が微分可能であるとき、関数 f の表わす曲線に接線が存在するが、逆に接線が存在しても f は微分可能とは限らないと書いています。
y = x^3 のグラフには接線が存在するが、 y = x^{1/3} は x = 0 で微分可能ではないなどと書いています。
関数 f の表わす曲線の定義が書いていないにもかかわらず、 y = x^3 のグラフと y = x^{1/3} のグラフは同じ曲線を表わすと暗に仮定しています。

こういうのは許されるのでしょうか？

>>587

訂正します：

杉浦光夫著『解析入門I』

p.86 例12

I を R の区間とする。
f : I → R^n が微分可能であるとき、関数 f のグラフの表わす曲線に接線が存在する。
逆に関数 f のグラフの表わす曲線に接線が存在しても f は微分可能とは限らないと書いています。

y = x^3 のグラフの表わす曲線には接線が存在するが、 y = x^{1/3} は x = 0 で微分可能ではないなどと書いています。

関数 f のグラフの表わす曲線の定義が書いていないにもかかわらず、 y = x^3 のグラフの表わす曲線と y = x^{1/3} のグラフの表わす曲線は同じであると暗に仮定しています。

こういうのは許されるのでしょうか？

なんとも奇妙な注意ですよね。
こんなことを注意して何か意味があるのでしょうか？

>>571,572,573,574,580,582
>>587-589
頭が悪い

>>588
ページv 読者への注意

>>589
質問です
1.あなたは何のために数学の本を読んでるのですか？
2.あなたは何歳ですか？
3.あなたは大学出てますか？

一時期般教レベルの次に挑戦しようとしてたけど自分には無理と思い知ってようだ

微積分->実解析挫折->基礎論挫折->微積分ｗｗｗ

変なやつ居着いちゃったな
数学やらないなら出ていってほしい

>>579
全く意味ないので
コレ書いた人が何を意図していたのか
気味が悪い

ホント変な奴、他所へ行け

定理　〇〇
この定理を証明するために、以下の補題を証明することにしよう。
補題1　◯◯
補題5　◯◯
…(計2,3ページに渡る補題の議論)…
さて、以上の準備のもとに定理の証明をすることにしよう。
定理の証明
　補題１から補題５を用いれば明らか。


↑こういう議論の進め方イランｗｗ
愚直に上から下に向かう議論をしろｗ

他の定理の証明でその補題を使うなら本のやり方が良い

定理の証明が長いと構成が分かり難いだろ

証明は見通しがいい方がいいけど、他にも要因があると思う

質問です
1次元区間I上の有界可積分関数fとその不定積分Fについて
有界関数fは∃c≥0: |f|≤cとなるから
F(x)-F(y)=∫[a, x]f-∫[a, y]f
=∫[a, y]f+∫[y, x]f-∫[a, y]f=∫[y, x]fより
||f(x)-f(y)||≤|∫|f||≤c|x-y|
よってFはI上リプシッツ連続であり、FはI上一様連続であり、FはI上連続である

また、fがI上で微分可能、f'がI上可積分ならばI=[a, b]、a<bとして
∀分割Δ, ∃ξk∈(x(k-1), x(k)):
f(xk)-f(x(k-1))=f(ξk)(xk-x(k-1))
(∵平均値の定理)となる

f'のリーマン和は
s(f'; Δ; ξ)=∑f'(ξk)(xk-x(k-1))
=∑(f(xk)-f(x(k-1)))
=f(b)-f(a)=∫[a, b]f'
f'は可積分でありd(Δ)→0とした時、収束する

I上で、可微分関数Fの導関数F'が連続関数fと一致する。F'=f
x+h∈I、h≠0の時、
|(F(x+h)-F(x))|/h -f(x)|
=|∫[x, x+h]f(t)-f(x)|
≤∫(1/h)[x, x+h] |f(t)-f(x)|
fは連続関数なので
∀ε>0, ∃δ>0: t∈I, |t-x|<δ⇒
|f(t)-f(x)|≤εとなる
よって0<|h|<δとすればF'が存在しF'=fとなる
でよいのでしょうか

今度は二号

質問です
fはI上連続、φはJ上可微分、φ'はJ上有界可積分、φ(J)⊂Iとすると
fの不定積分FはF'=fを満たす

∴合成関数の微分法により
(F￮φ)'(t)=F'(φ(t)) φ'(t)=f(φ(t)) φ'(t)
φはJ上連続でありf(φ(t))はJ上可積分である。よって積 f(φ(t)) φ'(t)もJ上可積分で
∫(I)f=∫(J)f(φ)φ'となる

また、有限増分の定理は
C^1級f: 開集合U⊂R^n→R^mとする。
線分ab⊂Uの時、
|f(b)-f(a)|=|∫[0, 1]f(tb+(1-t)a)(b-a)|
≤supf'(x)|b-a|
でよいのでしょうか

変な爺さん↓

>>598
慣れれ

最後の質問です
fは有界関数で、I=J×Kで可積分、x∈Jを固定した時にyの関数fx(y)はK上可積分とすると
∫(I)f=∫(J)(∫(K)fx(y))
が成り立つのは簡単に示せる

またy∈Kを固定した時にxの関数fy(x)がJ上可積分でもあれば
∫(J)(∫(K))=∫(K)(∫(J)f)=∫(I)f
が成り立つのは同様に示せる

またI=[a1, b1]×…×[an, bn]、
J=[ai1, bi1]×…[aip, bip]、
K=[ai(p+1), bi(p+1)]×…×[ain, bin]
v(I)=v(J)×v(K)が成り立つので
同様に成り立つ。
累次積分は上の仮定を満たす限り順序交換や分け方は自由ということなのでしょうか。

>>588
まあ問題ないわな

新井仁之著『ルベーグ積分講義改訂版』のルベーグ積分の変数変換の公式の証明は厳密ですか？

またお前か

証明の方針、補題が整理されていないのも困る

群のコホモロジーを勉強しだしたのですが
アイデアとして群Gのアイレンバーグ・マクレーン空間K(G,1)をCW複体として取って
その普遍被覆のCW複体を考えたものが代数的にはZのZG加群としての自由分解に相当するんだと思いますが
(普遍被覆空間でのG作用が加群でのZG作用に対応)

逆にこのようなZのZG加群での自由分解があった時に
その情報からK(G,1)を復元する事は出来るんでしょうか
複体の0次のZに対応して頂点を取ってそれをG作用で|G|個コピーして
1次のF_0に対応して1-cellを対応する頂点に張り合わせて…
という操作を繰り返して最後にG作用で割れば出来そうな気がするのですが
分かる人いたら教えて下さい。

あとこういう代数的な複体などの操作が幾何的にはだいたい何をしてるか
空間の言葉で説明してるような群のコホモロジーの本なりpdfがあったら知りたいです

>>612
ループ取れば？ΩK(G,1)=G（ある意味）

伊藤清三著『ルベーグ積分入門（新装版）』

p.14 例3

説明が荒すぎます。
全然、証明になっていません。

>>614

訂正します：

伊藤清三著『ルベーグ積分入門（新装版）』

p.14 例3

説明が粗すぎます。
全然、証明になっていません。

この名著にもイチャモンつけんのかこのドクズ

テレンス・タオさんの『ルベーグ積分入門』に同様の問題に対する証明がありますが、非常にエレガントです。
さすが、天才だけあって頭脳明晰という印象です。

ところで、伊藤清三さんの本には、変数変換の公式について書かれていません。
なぜですか？

>>616
名著だけどまあ色々不親切なのは俺も同意
日本の数学者って基本スパルタ式だよね

>>619
まあそうよね

逆言うと今はゆとり

ゆとりはゆとり用の本を読めばいいだけ

805 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2023/05/02(火) 10:59:39.27 ID:qxYSCIZc [1/2]
伊藤清三著『ルベーグ積分入門（新装版）』

p.14の例3は、区間塊についての話です。
Taoさんの和訳本では、p.6補題1.1.2.が対応します。

Taoさんの説明の仕方はいかにも秀才の説明という感じです。
一方の伊藤清三さんの説明は、Taoさんが別解として、演習問題とした解法で説明しています。

秀才と凡人の対照が面白いですね。

43 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2023/02/15(水) 16:22:05.23 ID:DE77win3 [6/7]
Sheldon Axlerさんの本を読んでしまうと、日本語のルベーグ積分の本は何なんだと思ってしまいます。

最初から惹きつけられるような例を出してきます。

吉田伸生さんの本はどこがいいのでしょうか？

17 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2023/02/12(日) 14:47:56.88 ID:xQc/5516 [3/5]
今日からSheldon Axler著『Measure, Integration & Real Analysis』を読み始めようと思います。

3ヶ月で最後まで読み切ることを目標にします。

3か月で読みきれた本といえば？

伊藤清三著『ルベーグ積分入門（新装版）』

p.16 問1-問5

区間塊という非常にシンプルなオブジェクトに対する非常にシンプルな結果であるにもかかわらず、証明するのが結構面倒ですね。

この本は難しいと言う人がいますが、どこが難しいんですか？
洗練されていない田舎くさい本という印象で、難しいという印象はありません。

>>619
実直に黙々と初学者が最低限学ぶべき事柄を教えてくれた
学生の頃ボロボロになるまで格闘した
オレの人生の1ページ
このゴミにはわからないんだろうな

619は代数が得意、解析が苦手というだけだろ、ルベーグ積分は分からんと思うよ

測度論に登場する +∞, -∞ のせいでこれらを含む可能性のある四則演算や大小比較を証明する際に、場合分けがいちいち面倒です。
なんかすっきりと切り抜ける方法はないんですか？

>>627,630
低知能には無理

いいぞ、どんどん蹴とばしてやれ

杉浦光夫著『解析入門I』

p.88 命題1.5 (ライプニッツの公式)

これってわざわざ教科書に書くほどの命題ですか？

また微積分に逆戻り

>>627
↑こいつみたいなゴミでも、たまに共感できること言うんだよな
＞＞627に関しては同意。感覚的には明らかだし、証明も愚直にやれば出来るんだろうけど、いざやろうとするクッソ面倒感が半端ない命題。

区間塊の体積が、区間塊の表し方によらず定まる、って命題も同種やろ

618 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/11/17(日) 22:33:33.92 ID:JDdYnuPS
ところで、伊藤清三さんの本には、変数変換の公式について書かれていません。
なぜですか？

609 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/11/16(土) 21:44:35.90 ID:0tkNhHDG
新井仁之著『ルベーグ積分講義改訂版』のルベーグ積分の変数変換の公式の証明は厳密ですか？

>>630
Sheldon Axlerにはどう書いてあるの？

>>614
Sheldon Axlerの何処に書いてあるの？

確率変数列の確率変数への収束についての質問です。
確率変数列{Xn}がXに収束する(lim n->∞ Xn = X) が何を意味するかがイメージできません。
確率変数列{Xn}の一般項Xn(n番目の項)のnを∞に飛ばした時の値とはいったい何を意味するのでしょうか。
基本的なところでつまずいています。
ご教授よろしくおねがいします。

またお前か
病院に行け

>>640
確率変数列の収束とは？

>>642
確率空間(Ω,F,P)の確率変数Xn:Ω->Rを要素とする列{Xn}が同確率空間の確率変数Xに各点収束するとは
任意のε∈Ωでlim n->∞ Xn(ω)=X(ω)
ということだそうです（たぶん間違ってなければ）。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%A4%89%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F

あっ，「任意の」はいらないです。

>>643
それじゃ分からんだろ、確率論の本読めよ

確率収束
概収束
法則収束
p次平均収束
弱収束
分布収束
とまー色々ある

一番知りたいのは，n->∞って何？ということです。

殆ど確実に収束すると言ってるだかよ

訂正
殆ど確実に収束する

n->∞は，どうやら，試行回数を∞に飛ばすということみたいなんですが，
どうしてｎを増やすことが，試行回数を増やすことになるのかわからないです。
{Xn}はもともと加算無限集合ですよね？

確率変数の定義すらわかっていないようだ、確率論の本の第一章に書いてあるよ

無限次のp拡大とはどのような定義なのでしょうか？
また、無限分岐とはどのような定義なのでしょうか？
定義と、できれば出典を教えて頂きたいです。
よろしくお願いします

定理　◯◯が成り立つ。
証明
◯◯は◯1と変形できる
従って、◯◯を証明するには◯1を証明すれば良い。
ここで、☓☓だから、◯2を証明すれば、◯1が成り立つことが分かる。
◯2は、☓☓だから◯3を証明すれば十分である。
…
ということは、◯ｎを証明すればよいがこれは明らかである。
よって定理は成り立つ。

↑こういう議論くっそ嫌い