杉浦光夫著『解析入門I』

p.78

例3

D := {z ∈ R^2 : |z| < 1}
E := {z ∈ R^2 : |z| > 1}
B := D ∪ E
「円に関するジョルダンの定理」などと書いて、B は連結でないことを長々と証明しています。

D, E はともに空でない R^2 の開集合です。
D ∩ E は明らかに空集合です。
ですので、定義によって、 B は連結ではありません。

小平邦彦さんならばこのようなことにはならないと思います。