杉浦光夫著『解析入門I』

p.109 定理3.2

R^n の開集合 U で定義され、 R^m に値を取る函数 f に対し、点 c ∈ U のある近傍 W で f_{x_i, x_j}, f_{x_j, x_i} が共に存在して、 c において連続ならば f_{x_i, x_j}(c) = f_{x_j, x_i}(c) が成立つ。

これって別に「点 c ∈ U のある近傍 W」というでかい空間で「f_{x_i, x_j}, f_{x_j, x_i} が共に存在し」なくてもいいですよね。
条件が不必要にきついですよね。