杉浦光夫著『解析入門I』

すべての変数について偏微分可能でも、全微分可能ではないということを変な例で説明しています。

c, d ∈ R かつ c ≠ d とする。

x = 0 or y = 0 ならば f(x, y) := c
x ≠ 0 and y ≠ 0 ならば f(x, y) := d

で f を定義する。

f は (0, 0) で x, y について偏微分可能であるが、連続ではない。

この例が一番良い例だと思いますが、杉浦さんは妙な例を持ち出しています。