大学学部レベル質問スレ 24単位目

n 次正方行列 A の固有方程式が n 重根を持ちかつ対角化可能
⇒ A は単位行列のスカラー倍

P^{-1} * A * P が対角行列になるような正則行列 P が存在する。
A と P^{-1} * A * P の固有方程式は等しい。
A の固有方程式が n 重根を持つから P^{-1} * A * P の固有方程式も n 重根を持つ。
よって、対角行列 P^{-1} * A * P の対角要素はすべて等しい。
この対角要素を a とおく。
P^{-1} * A * P = a * I である。
A = P * (a * I) * P^{-1} = a * I である。