同21より 転載
>１のｎべき根をｎより小さいべき根で表す方法

ちょうど、海城中高 Galois生誕200年記念 2011年度数学科夏期リレー講座 があるので
下記を見て下さい
（ここにpdfへのリンクがあって、講義のpdfがゲットできます）
中高一貫校なので、とっつきやすいでしょう

www.kaijo.ed.jp/students/3372
海城中高
数学科
Galois生誕200年記念
2011年度数学科夏期リレー講座（2011/8/22〜8/27）
・初日　　Galoisの生涯とGalois理論概説　平山裕之
・２日目　集合から群まで　小澤嘉康
・３日目　いろいろな群　宮?ｱ篤
・４日目　部分群と正規部分群　春木淳
・５日目　2次方程式と3次方程式のGalois理論　川崎真澄
・６日目　４次方程式と5次以上の方程式のGalois理論　網谷泰治
・全日　　授業レポートと担当者および受講者の声
(引用終り)

なお
・６日目　４次方程式と5次以上の方程式のGalois理論　網谷泰治
より抜粋

6 1のべき乗根(付録A)
この節では,n次方程式Xn−1=0が開べきで解けるという,Gaussによる定理を紹介します。計算を通して,雰囲気を掴んでみましょう。

一般に, 次が成立します。
定理2
pを素数とする。方程式Xp−1+Xp−2+···+X2+X+1=0のQ上のGalois 群をGとすると,
G={e,σ,σ2,...,σp−2} ∼ =Zp−1　(p−1)次の巡回群

Gauss (1777–1855) によって, 一般に次が証明されています。
定理3
n次方程式Xn−1=0は, 開べきで解ける。ゆえに,1のべき乗根は, 開べきで表せる。
【注意】　Galois 理論は, 5次以上の方程式が解けないことを示すわけではありません。
定理3のような特別な形をした方程式は,nの値によらず常に解けることをいっているのです。
(引用終り)

ここの”6 1のべき乗根(付録A)”が、参考になるでしょう
ラグランジュ分解式は役に立つ
しかし、ラグランジュ分解式は必須ではない
ラグランジュ分解式を使わずに解ける場合が、多々ある
一例が、「近世数学史談」高木先生の冒頭のガウスの手紙にある
円の17等分が平方根で解ける話です（下記）
ガウスは、cos 2π/17 を 三角関数の1/n公式 から すらすらと 平方根表示を導いています
繰り返すが、ラグランジュ分解式は役に立つが、必須ではない

それが理解できないアホなやつがいます

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%81%E4%B8%83%E8%A7%92%E5%BD%A2
十七角形