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特集 位相的K理論をめぐって 数理科学 2024年9月号
巻頭言 松尾信一郎 (名大 多元数理科学研究科）

K理論は現代幾何に偏在する．線型代数のほんの一歩先から現代幾何の最先端へ連綿と続く道で
もある．さらにその道は現代物理とも交錯する．
まさに壮大な理論体系である．しかし,K理論を，そこにそびえる山頂として仰ぎ見るだけではもっ
たいない．山頂への一歩を踏み出したときの道標となるべく本特集は編まれた．
早速．K理論を紹介しながら，本特集の各記事を概観したい．K理論とは，標語的に言えば，線
型代数を族で考えることで得られるトポロジーのものの見方の一つであって，ベクトル束の安定同
値類から構成される一般コホモロジー理論である．
Bott周期性を大きな特徴として．Adams作用素という強力なコホモロジー作用素を持ち, Chern
指標によって普通のコホモロジー理論と結びつく．
岸本大祐氏の記事では，ベクトル束の定義から始まりトポロジーヘの古典的応用までが最短ルート
で解説されている．応用としては，球面上の複素構造の存在問題とHopf不変量の問題が扱われる．
前者の問題は，トポロジーに典型的な整数性の応用であり．Bott周期性とChen指標が用いられ
る．後者の問題は，元々は，普通のコホモロジー理論の高次コホモロジー作用素を駆使した議論に
より示きれていたのだが,K理論ではAdams作用素を用いることで『ポストカードに書けるよう
な( Atiyahの表現)』簡潔な証明になった．
この簡潔な証明の背後のからくりを枕として，玉木大氏の記事ではK理論が現代的なホモトピー
論の観点から鮪分けされていく．K理論はv1周期的であり, vO周期的である有理コホモロジー理
論の次の階層にある．きらに次の階層には楕円コホモロジー理論や位相的モジュラー形式などがあ
る.K理論はvn周期性に基づく現代の安定ホモトピー論における試金石となっている．
(中略)
さて,K理論の歴史は次のようなものだ．まずは前史として,1956年にBottがMorse理論の応用と
してユニタリ群や直交群のホモトピー群の周期性を証明し，1957年にGrothendieckがHirzebruch Rieman-
Rochの定理を一般化するために連接層のK群を導入した．1959年にAtiyahとHirzebruch
が, Bott周期性を用いて, GrothendieckのK群を一般コホモロジー理論として翻案した．
1962年にAdamsがK理論を用いて球面上のベクトル場の問題を解決し，1963年にはAtiyahと
Singerが指数定理のK理論的証明を発表した.
さらに，1964年には, AtiyahとBottが周期性定理の初等的証明を発表し, Atiyahの有名な教科書の
基となった講義も行われた．ちなみに,K理論のKは類(class)を表すドイツ語のKlasseに由来
し, Grothendieckが命名した. Grothendieckの1985年2月9日の手紙8)によれば，最初はclass
の頭文字を用いてC(X)としようとしたが，函数解析を研究していた経験があるのでC(X)では連
続函数の空間と紛らわしいと気付いて，母国語のドイツ語を用いてK(X)としたらしい.K理論
の歴史については, Atiyah全集第二巻3)の冒頭の本人註解とSegalによるAtiyahの追悼記事7)とDieudonneの本6)がある.