つづき

(参考)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研究室 東北大
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21
第13章 整列集合
13.1 整列集合
順序集合(X,≦)はすべての空でない部分集合が最小元をもつとき整列集合であるといいそのような順序を整列順序という

13.2整列集合の基本定理
本節では整列集合がつ与えられたときどちらか一方は他方を延長したものであるという基本定理を証明する

13.3 整列可能定理
与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
直感的には集合の元を1つずつ順に並べればよいわけで
有限集合に対してなら何ら問題なくできる
しかし無限集合に対してはどうだろうか
カントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた1)
実際ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう2)
定理13.15 (整列可能定理)
任意の集合は適当な順序を定義することで整列集合にできる
証明 Xを任意の集合とする
以下略す

注）
1）カントルは1883年の有名な論文で整列集合の概念を与えてすべての集合を整列集合にできることは原理であり自明なことであると主張した後年になって証明を試みたようであるが成果は得られず連続体仮説とともにカントルの残した集合論の大きな課題となったツェルメロは選択公理を原理として提起してそれを用いて整列可能定理を証明したその議論は大論争を巻き起こしたが情況が明らかになる中でツェルメロは集合の公理を提示するとともに
整列可能定理の別証明を与えた（1908）
2）赤[]にはツェルメロの元証明にしたがった議論が収められている
(引用終り)
以上