さて、対角成分がすべて1の上半三角行列Aの、成分aij,（j-i=1）の全体を
ランク１の対角並行成分と呼ぶことにする

Uの２つの行列A、Bの積ABのランク１の対角並行成分は

Aのi行目　
1〜i−1番目　0
i番目　1
i+1番目　ai(i+1)
i+2番目以降　*（任意）

Bのi+1行目
1〜i−1番目　*（任意）
i番目　bi(i+1)
i+1番目　1
i+2番目以降　0

の内積なので
0×*+…+0×*+1×bi(i+1)+ai(i+1)×1+*×0+…+*×0
＝(ai(i+1)+bi(i+1))
となる

ここで、対角成分がすべて1の上半三角行列のうち
ランク１の対角並行成分が０のもの全体 U1 を考えると
その全体は行列の乗法で群となる、のみならず
両側から対角成分がすべて1の上半三角行列と
その逆元を掛けたものも、やはり
ランク１の対角並行成分が０となるので
正規部分群であることがわかる

そして、商群U/U1は
「対角成分がすべて1で、
　ランク１の対角並行成分”以外”は０」
のものとなり、これらは実は可換群である
（ちなみにこれは加法群K^(n-1)と同型である）

ここで、Uの可解性を、U1の可解性に帰着できた

以下同様に、ランク２以降の対角並行成分を考えて、U1,U2,…と続けていくと
しまいには対角成分が１で上三角領域のうち
右上隅の要素以外が0のU(n-2)まで縮小できる
そしてこれは実は加法群Kと同型であるので可換である

したがって、B,U,U1,…,U(n-2)全てが可解群である！