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なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？
>公理まで遡ってすべての定義・命題を厳密に記述・証明しなければ、正しいとは言えないはず
>もし、公理まで遡る途中の定義・命題を認めても問題なく数学が出来るなら、それを公理とすればいいのでは？

私見だが
結論だけ書いておくと

Q.もし、公理まで遡る途中の定義・命題を認めても問題なく数学が出来るなら、それを公理とすればいいのでは？
A.”途中の定義・命題を認めても問題なく数学が出来る”場合は、殆どが 公理まで遡ることが出来る
　なお、特殊例として、”ZFCから独立な命題の一覧”がある、 下記ご参照

Q.公理まで遡ってすべての定義・命題を厳密に記述・証明しなければ、正しいとは言えないはず
A.Yes！ 基本、現代数学の命題は 公理まで遡ることができる。（上記の通り）但し、日々の教育では 途中から始めることが多い
　そうしないと、講義が半年や１年で終わらないｗ

Q.ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？
A.Yes！ ZFC公理は、現代数学では絶対ではない。"One of them"である

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/ZFC%E3%81%8B%E3%82%89%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E3%81%AA%E5%91%BD%E9%A1%8C%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
ZFCから独立な命題の一覧
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_statements_independent_of_ZFC
List of statements independent of ZFC