>>42
>一階の述語論理はZFCのようなもの
>二階のはBGのようなものかなとも

関連で、まず前振り
ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
二階論理の表現能力
二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い。
歴史と論争
近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した。Boolos はさらに一階述語論理では記述できない文を例に挙げ、完全な二階述語論理の量化でのみそれらを表現可能であるとした。しかし、その一部は二階述語論理を持ち出すまでもなく、一階述語論理に若干の拡張を加えるだけで表現可能である。
計算複雑性理論への応用
有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は、計算複雑性理論と密接に関係している。
(引用終り)

で
1）1900年代初頭、数学の危機と言われたころ
　数学の危機克服のために、ストイックに 一階述語論理に限ろうと言われた
2）ZFCもそれを受け継いで
　一階述語論理に限られる
3）しかし、”1900年代初頭、数学の危機”が なんだかんだで克服されると
　一階述語論理の表現能力の低さが問題となる
4）表現能力の低さを克服する手段の一つが、二階述語論理とかもっと高階とか
　別に 圏論もそういう視点から見ることが出来る（ZFCよりも表現力高いだろう（下記））

そもそもが
「人の思考は、一階述語論理に限られない！」
ってことが、根本にある

”なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？”
「人の思考は、一階述語論理に限られない」から
は、一つの答えだと思う

(参考)
www.utp.or.jp/book/b305702.html
東京大学出版会
圏論による論理学 (冊子版)
高階論理とトポス
著者
清水　義夫 著
2007/12/14
内容
20世紀後半、数学、計算機科学、論理学などの分野で採用されてきている圏論。関数概念を基本として現象をとらえようというこの方法を、関数型高階論理とトポスを題材にして丁寧に解説する。論理学の観点を中心に、圏論の考え方を紹介するテキスト。