>>584
正則性公理を、なんか勘違いしていると思う
下記を、百回音読してね

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名「基礎の公理」（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。

定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
∀A(A≠Φ⟹∃x∈A,∀t∈A(tnot∈x))
以下の3つの主張はいずれもZF公理系の他の公理の元で同値であり、どれを正則性公理として採用しても差し支えない[1]。
・x ≠ Φ に対して、∃y∈x; x ∩ y = Φ
・∀xについて、∈ が x 上整礎関係
・V = WF
ここで、V は集合論の宇宙を指し、WF は整礎的集合全体のクラス（フォン・ノイマン宇宙）を指す。

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
（goofle訳）
数学において、正則性公理（基礎公理とも呼ばれる）は、ツェルメロ・フランケル集合論の公理であり、空でないすべての 集合 AにはAと互いに素な要素が含まれることを述べています。第一階述語論理では、この公理は次のようになります。
略す
正則性公理は、対合公理と合わせて、どの集合もそれ自身の要素ではないこと、また、すべてのiに対してa i+1がa iの要素であるような無限列( a n )は存在しないことを意味します。従属選択公理(選択公理の弱められた形式) を使用すると、この結果は逆転します。つまり、そのような無限列が存在しない場合は、正則性公理が真になります。したがって、この文脈では、正則性公理は、下向きの無限メンバーシップ チェーンは存在しないという文と同等です。

この公理はフォン・ノイマン (1925)の貢献によるもので、ツェルメロ (1930)によって当時の教科書に見られるものに近い定式化で採用された。集合論に基づく数学の分野における事実上すべての結果は、正則性がなくても成り立つ。クネン (1980)の第 3 章を参照。しかし、正則性により順序数のいくつかの特性が証明しやすくなる。また、正則性により、整列した集合だけでなく、辞書式順序などの整列した関係構造である適切なクラスに対しても帰納法を行うことができる。
{(n,α)｜n∈ω∧α is an ordinal }
ツェルメロ-フランケル集合論の他の公理を考えると、正則性公理は帰納法公理と同等である。帰納法公理は、直観主義理論（排中律を受け入れない理論）において、正則性公理の代わりに使用される傾向があり、その場合、2つの公理は同等ではない。

非標準集合論では、正則性の公理を省略するだけでなく、それ自体の要素である集合の存在も仮定しています。