つづき

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
google訳
この公理はフォン・ノイマン (1925)の貢献によるもので、ツェルメロ (1930)によって当時の教科書に見られるものに近い定式化で採用された。集合論に基づく数学の分野における事実上すべての結果は、正則性がなくても成り立つ。クネン (1980)の第 3 章を参照。しかし、正則性により順序数のいくつかの特性が証明しやすくなる。また、正則性により、整列した集合だけでなく、辞書式順序などの整列した関係構造である適切なクラスに対しても帰納法を行うことができる。
{(n,α)｜n∈ω∧α is an ordinal }
ツェルメロ-フランケル集合論の他の公理を考えると、正則性公理は帰納法公理と同等である。

（帰納法公理のリンクから下記へ。一部 google訳）
en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Epsilon-induction
In set theory, ∈-induction, also called epsilon-induction or set-induction, is a principle that can be used to prove that all sets satisfy a given property. Considered as an axiomatic principle, it is called the axiom schema of set induction.
The principle implies transfinite induction and recursion. It may also be studied in a general context of induction on well-founded relations.
この原理は超限帰納法と再帰法を暗示しています。また、整基礎関係における帰納法の一般的な文脈で研究することもできます。

Comparison of epsilon and natural number induction
The transitive von Neumann model ω of the standard natural numbers is the first infinite ordinal.
There, the binary membership relation "∈" of set theory exactly models the strict ordering of natural numbers "<".
Then, the principle derived from set induction is complete induction.
以下略

ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合（英: well­ordered set）とは、数学における概念の1つで、整列順序を備えた集合のことをいう。
ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well­order) とは、S 上の全順序関係 "≤" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≤ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≤) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す
(引用終り)
以上