>>754 追加
いつもお世話になっております 東北大 尾畑研
下記、結構ちゃんと書かれている

(参考)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室−システム情報数理学II研究室−
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_03.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21)
第3章 集合の演算
P45
3.3集合の公理
ラッセルのパラドックスなどを解消する努力の中で一群の公理系から出発する公理的集合論が構築されてきた
公理系の設定の仕方は何通りかあるが以下ではZFC公理系を紹介しながら
集合にどのような性質が期待されて
それがどのように表現されるかを見ておこう
公理的集合論では対象とする「もの」はすべて集合であり現れる文字A,B,・・、a,b,・・はすべて集合と理解する
そして集合間の関係として等式A=Bと帰属関係A∈Bだけから理論を構築する
したがって集合の元も集合であると認識しなければならない

P48
(S9)基礎の公理
略す
補題3.14 x∈yとy∈xを同時に満たすx,y集合は存在しない
証明
略す
定理3.15 集合x,yに対して次が成り立つ
(1)x∈xを満たす集合は存在しない
(2)のx∈y,x=y,y∈xうち高々1つだけ成り立つ
(3){x}⊂xを満たす集合は存在しない
　したがって x＝{x}を満たす集合も存在しない
証明
略す

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_14.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1(22:21)
第14章順序数
P208
14.3順序数の定義

■順序数の定義
次の条件を満たす集合αを順序数という
(i)αは推移的である
(ii)αは帰属関係∈に関して整列集合である

条件(ii)が簡潔過ぎて少しわかりにくい
まず帰属関係と呼ばれる2項関係∈が集合α上に等号なしの順序関係を与え
それが全順序になることが要請されている
つまり、x,y,z∈αに対して推移律
x∈y,y∈z→x∈z
が成り立ち
さらに任意のx,y∈αは比較可能
x∈y,x=y,y∈x
つまりのいずれか1つが成り立つ
さらに全順序集合(α,∈)が整列集合になるというのが条件(ii)の内容である5)