小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ　Part 62

小中学生の数学大好き少年少女！
ならびに小中学校範囲の算数・数学の問題で悩んでいる方！(年代を問わず)

分からない問題があったら気軽にレスしてください。
学校の宿題、塾の問題など幅広く扱っていきたいと思います。
文字の使い方等は>>2を参照のこと。

※あくまで小中学生のためのスレなので範囲外のものについては別スレに。
明らかに範囲外の質問には即NGで対処してくだい。反応したら負けです。皆様のご協力よろしくお願いします。

前スレ
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ　Part 61
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982238/
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ　Part 60
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1670123285/
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ　Part 59
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1653324466/

前回の計算結果を用いて、点 D から見た \angle ADO の大きさを求めます。
三角関数の「積和の公式」を使うと、非常に美しく解くことができます。
### 1. 各点の座標の整理
前回の結果と問題文より、各点の座標は以下のようになります。
* * * ### 2. ベクトル \vec{DA} を求める
点 D から点 A へ向かうベクトル \vec{DA} の成分を計算します。
その前に、点 D の座標に積和の公式を適用して展開しておきます。
* x成分: 2\sin(75^\circ)\cos(35^\circ) = \sin(75^\circ + 35^\circ) + \sin(75^\circ - 35^\circ) = \sin(110^\circ) + \sin(40^\circ)
* y成分: 2\sin(75^\circ)\sin(35^\circ) = \cos(75^\circ - 35^\circ) - \cos(75^\circ + 35^\circ) = \cos(40^\circ) - \cos(110^\circ)
また、点 A の座標は余角の公式を使って以下のように変換しておきます。
* * これでベクトル \vec{DA} = (A_x - D_x, A_y - D_y) を計算します。
**x成分の計算:**


ここで \sin(110^\circ) = \sin(90^\circ + 20^\circ) = \cos(20^\circ) より、
x成分は -\cos(20^\circ) となります。
**y成分の計算:**


ここで \cos(110^\circ) = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin(20^\circ) より、
y成分は -\sin(20^\circ) となります。
よって、\vec{DA} = (-\cos(20^\circ), -\sin(20^\circ)) です。
このベクトルは、原点から見て **200°** （= 180^\circ + 20^\circ）の方向を向いています。
### 3. ベクトル \vec{DO} の方向を求める
点 D は、方程式 y = \tan(35^\circ)x の直線上（第1象限）にあるため、原点 O から見て **35°** の方向にあります。
ベクトル \vec{DO} は D から原点 O へ向かう逆向きのベクトルなので、その方向は **215°** （= 180^\circ + 35^\circ）となります。
### 4. \angle ADO を求める
\angle ADO は、2つのベクトル \vec{DO} と \vec{DA} のなす角です。
それぞれの方向（偏角）が分かっているため、単に引き算をするだけで求まります。
### 結論
\angle ADO は **15°** になります。

まあ>>651を使えば、三角形ACDが二等辺で終わりだと思う。

8×8+15×15=A×A
でAを求めるんですが特に早い方法がある訳じゃないですよね？

ピタゴラス数はm^2−n^2 , 2mn , m^2+n ^2の形で書けるらしいから、これで分かるんじゃないですかね。

いや、普通にやった方が早いですね。
数が大きくなったら、使える式かもしれないですね。

8×8=64と15×15=225で足して289
じゃあAは15よりちょっと大きいだろうというのと二乗して一の位が9になるなら7だなって事でA=17
凡人はこんな感じだろうね

>>655
偶数は８だけだから8=2mn, m=n=2はありえないから, m=4, n=2. よって17=4^2+1^2.

前>>636
>>637
Aを起点に(2/1)(DB/BC)(CE/EA)=1
2DB・CE=(BD+DC)EA=BD・EA+DC・EA
Bを起点に(3/2)(EA/AC)(CD/DB)=1
3EA・CD=2(AE+EC)DB=2AE・DB+2EC・DB
辺々足して2EA・CD=3EA・DB
2CD=3DB
∴BD：DC=2：3

末吉くん

前>>659
>>641
AM=5√5
ME=√5
BE=ED=2√5
B(0,0)とするとE(4,2)
D(8,4)
MDはy=(4/3)(x-5) 　←∵8-5=3
y=(4/3)x-20/3
ACはy=-x+10
(7/3)x=50/3
x=50/7,y=20/7
M(5,0)
F(50/7,20/7)
MF^2=(15/7)^2+(20/7)^2=(25/7)^2
∴MF=25/7

大学数学のスレから

122 １３２人目の素数さん (ﾜｯﾁｮｲ ffcd-KBIF [2001:240:24ae:5fe7:*]) 2026/09/07(月) 15:12:12.33 ID:pKKLJ+ej0
x[k]は正の実数で、
Σ[k=1,n] x[k] = 1
を満たす。
Σ[k=1,n] kx[k] の取りうる値の範囲を求めよ。
--

与式をSとおく

下限の値は
x[1]=1-t, x[2]=...=x[n]=t/(n-1)
としたときの t→0 の極限で
lim S=1*1+2*0+...+n*0=1
だがこれを含まない

上限の値は
x[n]=1-t, x[1]=...=x[n-1]=t/(n-1)
としたときの t→0 の極限で
lim S=1*0+...+(n-1)*0+n*1=n
だがこれを含まない

解は 1<S<n

すみません。中学入試の問題なんですが教えてください。

2台の車A、Bに、7人の人間a、b、c、d、e、f、gが分乗します。
車には定員があり、車Aは4人、車Bは5人です。
また、運転出来るのはabcdefgのうちabcの3人だけです。

(1) 分乗のしかたは何通りありますか？
(2) aとdが違う車に、eとfが違う車に乗るような分乗のしかたは何通りありますか？​

>>663
以下、解き方と答えを書きます

「分乗のしかた」は
a, b, ..., g の7人がそれぞれ
車 A, B のどちらに乗るかの場合の数で
車の定員、運転手の分乗を考えなければ
2の7乗=128通り
となります
（運転手を誰にするかは区別しません）

(1)は
128通りのうち、問題文の条件に合わない
・車Aに乗る人、車Bに乗る人が定員を超えている
・運転手a, b, cが同じ車で、他方の車が動かせない
ものを取り除きます
答えは「75通り」

(2)は
問題文に出てくる a, d, e, f が、それぞれ
どちらの車に乗ればよいかを数え上げます
順に ABAB, ABBA, BAAB, BABA の4通りです
それぞれについて、残り3人の乗り方
2の3乗=8通りのうち
定員と運転手の分乗の条件を満たしながら乗る
場合の数を数えて、足し合わせます
答えは「22通り」

塵劫記の油分け算を無思考で解く

容量が10　7　3の容器があって目盛りはなし。
最初は10が満杯。移し替えて 5 と５に分けるという問題。

step 大 中 小 注ぎ方
0 10 0 0 はじめ
1 3 7 0 大 -> 中
2 3 4 3 中 -> 小
3 6 4 0 小 -> 大
4 6 1 3 中 -> 小
5 9 1 0 小 -> 大
6 9 0 1 中 -> 小
7 2 7 1 大 -> 中
8 2 5 3 中 -> 小
9 5 5 0 小 -> 大
10 5 2 3 中 -> 小
11 8 2 0 小 -> 大
12 8 0 2 中 -> 小
13 1 7 2 大 -> 中
14 1 6 3 中 -> 小
15 4 6 0 小 -> 大
16 4 3 3 中 -> 小
17 7 3 0 小 -> 大
18 7 0 3 中 -> 小
19 10 0 0 小 -> 大

大→中→小→大→中→小を繰り返しているだけ。
0 7 3以外は全部の状態が出てくる。

自分では答が出せない問題
この方法でみつかる解は常に最短手順であるか？
試した範囲では最短手順であるみたい。

>>663
列挙して検算

Bに5人乗る場合（15通り）
abdef abdeg abdfg
abefg acdef acdeg
acdfg acefg adefg
bcdef bcdeg bcdfg
bcefg bdefg cdefg

Bに4人乗る場合（30通り）
abde abdf abdg
abef abeg abfg
acde acdf acdg
acef aceg acfg
adef adeg adfg
aefg bcde bcdf
bcdg bcef bceg
bcfg bdef bdeg
bdfg befg cdef
cdeg cdfg cefg

Bに3人乗る場合（30通り）
abd abe abf
abg acd ace
acf acg ade
adf adg aef
aeg afg bcd
bce bcf bcg
bde bdf bdg
bef beg bfg
cde cdf cdg
cef ceg cfg

Bに5人乗る場合（2通り）
bcdeg bcdfg

Bに4人乗る場合（10通り）
abeg abfg aceg acfg bcde
bcdf bdeg bdfg cdeg cdfg

Bに3人乗る場合（10通り）
abe abf ace acf aeg
afg bde bdf cde cdf

>>664
>>666-667

すみません、ちょっと難解過ぎて理解出来ませんでした…。
基本から勉強し直します😪

黒7個 白5個 赤4個 青2個の石があります。
穴を通してﾈｯｸﾚｽを作るとすると何通り出来ますか？

数珠順列は発音しにくい。

表と裏を同一視しない円順列については
2012年に阪大附高の数学教師が発表した
「友田の公式」
があり、任意の色と数のリストから
場合の数が求まるようになった
https://tomodak.com/report/junretsu2012.pdf

これをじゅず順列に拡張した人もいる
https://zenn.dev/dannchu/articles/circular-necklace-permutation-formula

{7, 5, 4, 2} のじゅず順列なら
(1/2)((18!/(7!5!4!2!))-(9!/(3!2!2!1!)))
=110262600
のように計算できる

割り算がひとつ抜けてた
正しくは
(1/2)((1/18)(18!/(7!5!4!2!))-(9!/(3!2!2!1!)))
=6118560

友田の公式は
個数全体に3以上の大きな公約数がある時に
場合分けせず一発で求まるところが強力

バーンサイドの公式に矛盾してるのでは？

ああ、バーンサイドの公式はつかってるね。今回の場合は7,5,4,2の最大公約数が１だからその寄与項が０になっただけか。バーンサイドの公式の２面体群が円上の順列に作用する場合につかっただけだわな。

>>669
341180通り

>>675
ひたすら列挙して数えたら（数えさせれたら）

> head(necklaces)
No 配列
<int> <char>
1: 1 黒黒黒黒黒黒黒白白白白白赤赤赤赤青青
2: 2 黒黒黒黒黒黒黒白白白白白赤赤赤青赤青
3: 3 黒黒黒黒黒黒黒白白白白白赤赤赤青青赤
4: 4 黒黒黒黒黒黒黒白白白白白赤赤青赤赤青
5: 5 黒黒黒黒黒黒黒白白白白白赤赤青赤青赤
6: 6 黒黒黒黒黒黒黒白白白白白赤赤青青赤赤
> nrow(necklaces)
[1] 6126960
> tail(necklaces)
No 配列
<int> <char>
1: 6126955 黒白白白白白黒赤黒赤黒青黒赤黒赤黒青
2: 6126956 黒白白白白白黒赤黒赤黒青黒赤黒青黒赤
3: 6126957 黒白白白白白黒赤黒赤黒青黒青黒赤黒赤
4: 6126958 黒白白白白白黒赤黒青黒赤黒赤黒赤黒青
5: 6126959 黒白白白白白黒赤黒青黒赤黒赤黒青黒赤
6: 6126960 黒白白白白白黒青黒赤黒赤黒赤黒赤黒青
> nrow(necklaces)
[1] 6126960

掲示板に貼りたいのでテキスト形式で１０行で

【石のネックレスの組み合わせ数（修正版）】
黒7個、白5個、赤4個、青2個（計18個）の石を
輪にしてネックレス（じゅず）を作る並べ方です。
■ 答え：6,126,960 通り
■ 計算の概要
1. 18個の石の円順列を計算（12,252,240通り）
2. 対角に白黒を置く「左右対称」が1,680通り存在
3. 対称以外を裏返して2で割り、対称分を足す

>>676
が正解のようですね
ありがとうございます

672は
第2項が引き算でなく足し算になるのと
元記事からの引用時に係数を間違えたようです
失礼しました