>>100
>なんらかの
>例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
>有理コーシー列は出来ても
>そこで”詰みます”ってことでいい？

ここに戻るよ
可算選択公理があれば、実数論の有理コーシー列から、その先に進める
例えば、2次元R2と同一視できる 複素数Cの ガウス平面でも、コーシー列の収束を考えることが可能です
可算選択公理が無ければ 実数論の有理コーシー列のところで詰みで、先に進めない

なお、"可算選択公理無し"の話は、下記のen.wikipedia Cauchy sequence で
”Moduli of Cauchy convergence are used by constructive mathematicians who do not wish to use any form of choice”
とあるので、ここまでは可です

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理
応用
ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]
実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。例えばすべての集積点
xがある数列の極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合
Sの集積点ならば、
xに収束する数列
S∖{x}が存在する」という命題を証明したい場合には(フルパワーのACでなく)ACωを用いれば十分である

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
点列 (xn) が 略
数列の場合と同じく点列がコーシー的であるなどという
これは、座標の各成分が全てコーシー数列を成すことと等価である
また、やはり数列の場合と同様に、Rk における点列 (xn) がコーシー性を持つならば、十分大きな番号 n に対応する点 xn は例外なく全て、ある非常に小さな直径を持つ k 次元球体に含まれる
複素数全体の集合 C を座標平面 R2 と同一視してガウス平面と考えれば、複素数列は平面上の点の列であり、複素空間 Ck 内のコーシー列も同様に考えることができる

en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
Modulus of Cauchy convergence
Any sequence with a modulus of Cauchy convergence is a Cauchy sequence. The existence of a modulus for a Cauchy sequence follows from the well-ordering property of the natural numbers
The existence of a modulus also follows from the principle of countable choice.
Moduli of Cauchy convergence are used by constructive mathematicians who do not wish to use any form of choice. Using a modulus of Cauchy convergence can simplify both definitions and theorems in constructive analysis. Regular Cauchy sequences were used by Bishop (2012) and by Bridges (1997) in constructive mathematics textbooks.

In a metric space
Since the definition of a Cauchy sequence only involves metric concepts, it is straightforward to generalize it to any metric space X.

Completeness
A metric space (X, d) in which every Cauchy sequence converges to an element of X is called complete.