>>130 追加

　>>113の対角線論法の補足をちゃんと書いておきますね ；ｐ）

　>>129より再録
”assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.”

なので、”assuming the axiom of countable choice”を採用します
つまり、可算選択公理より、可算整列定理が従います

さて
命題：実数Rは、非可算濃度である
まず
区間[0.1]の実数rの無限2進展開を考えよう
いま、無限2進展開で、0.1111・・・などは、1に等しいと扱う。他も同じとする

その上で、区間[0.1]の実数rは、無限2進展開で表されることを、認めるとする
補題：区間[0.1]の実数の集合Tは、非可算である
(cf en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument)
証明：
背理法による
集合Tが、可算であるとする
可算選択公理より、可算整列定理が従うので、T要素を(可算)整列させて
それら全てについて、自然数による付番が可能である

s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
ここで、対角線上の 0 or 1 をビット反転させると
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)
ができる。これは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なる

さてsは、区間[0.1]の無限2進展開の数であるから
s ∈ Tである
一方、背理法の仮定より、Tの元は全て整列させてある（可算整列定理使用）
ところが
上述の通り sは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なるので
s not∈ T である
矛盾が生じたので、背理法により、補題が成立
区間[0.1]の実数の集合が、非可算であることが証明されたので
命題：実数Rは、非可算濃度である も成立■