>>145 追加

下記は、選択公理→整列可能定理 の証明です
見てのとおり、可算だ非可算だのの制限は、一切なし

証明のポイントは、
”For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α}) ”
の部分です。aα=f(A∖{aξ∣ξ<α})の部分が、選択公理における選択関数を成す
A∖{aξ∣ξ<α}が集合族で、選択関数の定義域ですね

フルパワー選択公理は、集合族が非可算あっても良い
しかし、可算選択公理は、集合族が可算であるので、出来あがる選択された元たちは可算で
可算の整列可能定理になります

なお
可算の整列可能定理→可算選択公理
については、前記の”整列可能定理→選択公理”
の証明を参考にすれば、容易でしょう

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem 整列可能定理
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]

Let the set we are trying to well-order be
A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type
sup{α∣aα is defined}.■