ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/
前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく

雑談くん、性懲りも無くまたコピペを繰り返す
いくらコピペしても背理法すら理解できないんだから無駄なのに

>赤ペン入れると
雑談くんは赤ペンじゃ済まない　根本的に分かってないから

>>154 追加

見つけてしまった ；ｐ）

下記
”The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice).”
だってさｗ

そうすると
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない．
　↓
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は可算選択公理が無ければ証明できない．
かもしれない（en.wikipediaが絶対正しい保証はないから）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Results requiring AC (or weaker forms) but weaker than it
・Set theory
・The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice).
（google訳）
AC（またはより弱い形式）を必要とするが、それよりも弱い結果
・集合論
・可算集合の任意の可算族の和集合は可算です (これには可算な選択が必要ですが、選択公理の完全版は必要ありません)。

>命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．

頓珍漢。可算選択公理の「可算」とは、集合族の濃度が可算ということで
集合族に属している各集合が「可算」とは限りませんから〜残念。

>>160 補足
>”The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice).”

”any”の意味が、任意有限 countable なのか、あるいは 可算無限までを含むのか？
文全体の趣旨からすると、後者に読めるが（countable choiceにおける ”countable”の意味と解すれば）
まあ、en.wikipediaの書き手が、どこまで意図したのかだが？
出典がないので、なんとも言えない・・ ；ｐ）

>>161
(引用開始)
>命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．
頓珍漢。可算選択公理の「可算」とは、集合族の濃度が可算ということで
集合族に属している各集合が「可算」とは限りませんから〜残念。
(引用終り)

いまのコンテキストは >>154 より
『可算集合に対して 整列可能定理を考えると、可算集合の可算和は可算であるから
　可算集合の族に対しては・・』
ってことね （＾＾

>>100
(引用開始)
なんらかの
例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？
(引用終り)

ここに
戻るよ

いままでの議論は
『可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？』

ってことの伏線でありまして ；ｐ）
やっぱ、この通りでしょ！！ｗ

>>164
負け惜しみ乙
「ZFで実数は存在しない」は間違い。言い訳無用。

そもそも
>有理コーシー列は出来てもそこで詰む
が意味不明過ぎてなんの言明にもなっていない

まあ詰んでいるのは◆yH25M02vWFhP の実数理解

彼はン十年前、昭和時代の大学１年生の４月の挫折
を乗り越えられないままのようだ

>>145
(引用開始)
＞可算集合の整列可能性（これは自明）
　そうだね
　一般に、順序数と同濃度な集合は当然整列可能である
　そして、整列可能定理というのは何をいってるのかといえば
　任意の集合は、必ず同濃度の順序数を持つ、ということである
(引用終り)

　>>155に述べた通りだが
・”＞可算集合の整列可能性（これは自明）” については、
　"Well-ordering principle ”との混同でしょ
　すなわち、整列原理は あくまで自然数N についてのこと
・よって、 任意可算集合の整列可能については、可算選択公理を認めるべし
・可算選択公理を認めると、任意可算集合については
　濃度比較が可能だろう
　すなわち、可算選択公理から、任意可算集合の整列が構成できるゆえ
・”任意の集合は、必ず同濃度の順序数を持つ”は、整列可能定理で
　フルパワー選択公理を含意する

>>167
>・よって、 任意可算集合の整列可能については、可算選択公理を認めるべし
不要。
xが可算であるとは、Nからxへの全単射fが存在するということ。
x上の二項関係≦を、f(0)≦f(1)≦f(2)≦・・・と定義すれば、≦は整列順序。
証明：Nは通常の大小関係で整列集合だから、xの任意の空でない部分集合yの最小元 f(min(f^(-1)(y))) が存在する。

>>167
>・可算選択公理を認めると、任意可算集合については
>　濃度比較が可能だろう
任意可算集合は定義から自明に同濃度ですが？

雑談くん、相変わらず何も分かってないね
分からないなら黙ってれば？　わざわざ馬鹿自慢しなくていいよ

>>139
>可算整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てきません

戻るよ

１）可算整列定理は、可算選択公理から 直接導かれるものであって
　もちろん 抽象的なものだが 具体的であることを妨げない！
２）つまり 抽象 vs 具体 の意味さえ 分かってないのか？
　下記の goo ”抽象的”
　『１ いくつかの事物に共通なものを抜き出して、それを一般化して考えるさま。「本質を—にとらえる」』
　が適合するだろう
３）そうすると、数学の定理や公理で、抽象的に述べられたことは
　ある一定条件を満たす具体的な 数学の対象について
　”共通なものを抜き出して、それを一般化し”たものと考えると
　当然、具体的な 数学の対象に ついて、あてハマるのです

やれやれ、
数学科卒を名乗らない方がいいなｗ ；ｐ）

(参考)
https://dictionary.goo.ne.jp/word/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E7%9A%84/
goo辞書
抽象的 の解説
［形動］
１ いくつかの事物に共通なものを抜き出して、それを一般化して考えるさま。「本質を—にとらえる」
２ 頭の中だけで考えていて、具体性に欠けるさま。「—で、わかりにくい文章」⇔具象的／具体的。
「ちゅうしょう【抽象】」の全ての意味を見る
出典：デジタル大辞泉（小学館）

馬鹿が何か言ってる

>>168
>xが可算であるとは、Nからxへの全単射fが存在するということ。
>x上の二項関係≦を、f(0)≦f(1)≦f(2)≦・・・と定義すれば、≦は整列順序。

だから
それと、下記>>138より
問題は、対角要素を作るための列で
　>>133より
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
　(引用終り)

この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？
が問題となる
そこで、可算選択公理の出番なのよ

可算選択公理を用いて >>133における
『補題：区間[0.1]の実数の集合Tは、非可算である』
の背理法による 『集合Tが、可算である』の仮定について
Tの可算整列として、上記の 対角要素を作るための列 が 妥当だと
認められるのです■

空でない任意の集合xのべき集合に選択公理を適用すれば、xの任意の空でない部分集合をその代表元に対応させる写像fが存在する。
x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。
ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。

雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目）

>>173
>この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？
>が問題となる
ならない
T値列は任意でよいから

>そこで、可算選択公理の出番なのよ
不要
Tが可算という仮定だけでT値列の存在が言えるから

雑談くんは自分が正しいという思い込みが強い
問題はその思い込みには何の根拠も無いこと

>>174
>x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。
>ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。
>雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目）

いやいやｗｗ ；ｐ）
おっさんな

　>>146-147の Well-ordering theorem （整列可能定理）の
”Proof of axiom of choice”などで

（中国版より（英語版でも同様））
『×に整列関係Rがある。
それぞれEの元Sで、S中の関係Rで配置される最小元で 選択関数ができる。
これにより、目的の選択関数が得られます』

つまり、目的の選択関数は
関係Rに依存する（各集合族で 関係R による 最小元を使う）

そして、関係Rは 整列可能定理 すなわち 任意集合（非可算でも）から
一つずつ元を、適当に選んで並べて良いという主張で

従って、最初は全集合から選び、二番目は全集合から一つ減ったものから選び
三番目は全集合から二つ減ったものから選び・・・
などと、これを最後まで繰り返して、整列順序が構成されること

ここは、理解できていますか？
これが 理解できていれば、選択関数は
整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と

つまりは、選択関数は抽象的な存在であるが
（例え その一部分の場合も含めて）
具体的であることを妨げないのです

えーと、　>>133より
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
　(引用終り)

ここで、
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)＝0
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)＝1
ですねｗｗ ；ｐ）

「だれが、こんな勝手なことやっているのか！？」と怒ってもｗ
それは、選択公理や整列可能定理の範囲で、
その勝手な行為はｗ 決して禁止されていなのです！！ｗｗ

>>176
>これが 理解できていれば、選択関数は
>整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と
じゃあ実数の整列順序を構成してみて
整列可能定理でできるんでしょ？　よろぴくー

>>176 タイポ訂正

その勝手な行為はｗ 決して禁止されていなのです！！ｗｗ
　↓
その勝手な行為はｗ 決して禁止されていないのです！！ｗｗ

さて
>>175
(引用開始)
>この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？
>が問題となる
ならない
T値列は任意でよいから
(引用終り)

集合Tが可算ということからは
集合Tと自然数Nとの間の一対一対応が
存在することが保証されただけですよ

”T値列は任意でよい”は、言えない
卑近な例で、有理数Qで、任意列を作るならば

1,1/2,1/3,・・1/n,・・,2,・・（残りのQの元の適当な列）
を作ると、この列は 冒頭の”1,1/2,1/3,・・1/n,・・”の 部分だけで、自然数Nを尽くしてしまう

しかし、有理数Qをうまく整列させれば、自然数Nとの一対一対応が可能なのです
（証明は、思いつくであろう by ガロア ；ｐ）
可算選択公理(それから導かれる 可算整列可能定理）を認めてもよい！

>>178
>”T値列は任意でよい”は、言えない
じゃあ　Tの元すべてを含む任意のT値列でよい　に訂正。

任意でよいんだから
>この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？
>が問題となる
は間違い　理解できる？

◆yH25M02vWFhP　が分かってないこと

１．具体的な整列が可能なら、整列可能定理は要らん
２．背理法で否定するための前提として整列が存在するというのに、整列可能定理は要らん

工学部ってこんなことも分からんサルでも入学できるんか？　入試、ザルだろ

さて雑談くんは実数の整列順序を構成できるでしょうか

できないにグラハム数ペソ

雑談くんは実数の整列順序の構成を考える前に背理法の勉強した方がいいよ
前者はフィールズ賞メダリストでも無理だが後者なら高校生でもできるから

>>158
>脳みそ腐ってるレベル。
同一人物かどうかは知らないが
同じセリフを書いている人がいる可能性があるな

>>183
レスありがとうございます

>>179
>>”T値列は任意でよい”は、言えない
>じゃあ　Tの元すべてを含む任意のT値列でよい　に訂正。

だから、その主張のためには 可算選択公理（それを使う可算整列（可能）定理）が必要です
つまり、可算整列ができれば、自然数Nとの 全単射（一対応）の存在が言えます

繰り返すが、下記 ”可算集合の 定義：
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。
すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。”

については、反対はしない
しかし、”可算集合 定義”からは、全単射が一つ存在しさえすれば良い だけです

なので >>133 背理法で 『区間[0.1]の実数の集合Tは、可算である』としただけでは
自然数Nと 集合T との全単射は、抽象的存在であって、一つ存在しさえすれば良い だけだから

そうすると、ある人が 対角線論法のために ある整列（もどき）を構成したときに
それが、果たして 自然数Nと 集合T との全単射が できるかどうか の証明が求められるのです

その証明をする代わりに、可算選択公理を仮定すれば良いのです
そうすると、繰り返すが 可算整列（可能）定理が使えることになり
『集合Tは、可算である』と宣言した瞬間に、
人はかなり自由に Nと集合Tとの全単射 ができます
即ち、集合Tを整列しさえすれば良い

逆に、可算選択公理を仮定しない場合には、
対角線論法のために作った縦の整列が
果たして ”可算集合 定義”の 全単射となっているか？ の証明が
別途必要になるってことです！ｗ ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
可算集合
定義
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。

>>183
言ったでしょ？おっちゃんと雑談は同じ穴の狢だって。
「脳みそ腐ってる」というのは、両者の知性から受ける感じを
素直に表現したまで。

>>184
得意の検索で「可算整列可能定理」を検索してみれば？
日本中でそんなこと言ってるのはあんたしかいないからｗｗ

>>184
>対角線論法のために ある整列（もどき）を構成したときに
構成不要。Nとの間に全単射があることが対角線論法の仮定だから。

>それが、果たして 自然数Nと 集合T との全単射が できるかどうか の証明が求められるのです
証明不要。Nとの間に全単射があることが対角線論法の仮定だから。

まだ分かってなくて草

>>158
>自明な命題から非自明な公理が導出されるわけないだろう。

トンデモ系のひとは、数学にこういう「錬金術」がないことが分かっていない。
おっちゃんがおかしいのも、なんで未解決問題の解法が自分のところにだけ
天啓のようにやってきたのか？という点について疑問に思わないこと。

>>185
君、任意の正の実数εに対して或る正の実数 N(ε) が存在して
0＜1/(N(ε))＜ε
ではあるが、n≧N(ε) のとき 0＜1/n＜ε でもあるから、
εに対して M(ε)≧N(ε) なる可算無限個の正の実数 M(ε) が存在して
0＜1/(M(ε))＜ε
となる。よって、N(ε) は N(ε)→+∞ なる変数として扱ってよい
あとは二重極限が存在することの確認をすればよい
それを端折って書いたまで
そのことが君には伝わらなかったようだな

>>184
NからTへの全単射fがあることが対角線論法の仮定。
仮定によりTの元を余すことなく f(0),f(1),・・・ と並べられる。
仮定は証明不要。
背理法の仮定は偽だから証明不可能。

なんか難しいことある？　なんで分からないかが分からない

>>188
な、解析の議論を実際にマジメにしたらこのように長くなるだろ

>なんで未解決問題の解法が自分のところにだけ
>天啓のようにやってきたのか？
何でなどといわれてもそんなの知らんよ

>>189
結局何が言いたいの？ε=0とできると言いたい？
ε=0にはならないし、箱入り無数目の解法の方に
n→∞の対応物が存在しないから、ナンセンスだと言ってるんだが。

>>192
基本に忠実に従って議論すれば
箱入り無数目の無限バージョンも成り立って
その勝つ確率は1であるといえる

それじゃ、今日はここまで

>>193
出題列を無限本に分ければ勝率1にできると？
大間違い。
Dの存在が言えないから戦略不成立。

>>190
>NからTへの全単射fがあることが対角線論法の仮定。
>仮定によりTの元を余すことなく f(0),f(1),・・・ と並べられる。

ふっふ、ほっほ
その f(0),f(1),・・・ と

　>>133より
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
　(引用終り)

この s1,s2,s3 ・・・が
f(0),f(1),・・・ に該当するか 否かの保証がないでしょ？ｗ

しかし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を使えば
s1,s2,s3 ・・・が、整列順序であることが言えて
集合Tが、可算であるとの仮定より
s1,s2,s3 ・・・が、可算の整列順序であります

そこに、上記の対角線に沿って、ビット反転をして
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...) が できるが
s not ∈T であります

つまり、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理により
全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていることが、
保証されているからこそ

『s not ∈T 』がいえて
一方、sが 区間[0.1]の無限2進展開の数であるから s ∈ Tであって
それゆえ、矛盾であることが言えて
背理法成立となるわけです！！

もし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を用いなければ
”全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていること”について
つまり 『s not ∈T 』の明言の 数学的厳密性に
疑義の余地ができてしまう のです■

>>196
>この s1,s2,s3 ・・・が
>f(0),f(1),・・・ に該当するか 否かの保証がないでしょ？ｗ
保証が必要な理由は？

>>186
>得意の検索で「可算整列可能定理」を検索してみれば？
>日本中でそんなこと言ってるのはあんたしかいないからｗｗ

下記 ”可算選択公理 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。”
を注意しておきます
『無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』ってことですね

　>>83より再録
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
可算選択公理
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。

>>197
>>この s1,s2,s3 ・・・が
>>f(0),f(1),・・・ に該当するか 否かの保証がないでしょ？ｗ
>保証が必要な理由は？

ふっふ、ほっほ
もし、可算選択公理を仮定せず そこから導かれる可算整列（可能）定理を使わないで
s1,s2,s3 ・・・が f(0),f(1),・・・ に該当する保証がなければ

s1,s2,s3 ・・・が 全てのTを尽くしていることが、厳密に言えない

そうすると、対角線論法で s1,s2,s3 ・・・ 以外の s の存在が言えても
それが s not ∈T でなく s ∈Tの可能性の余地が、残ってしまうのです

ところが、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理により
全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていることが、
保証されているならば、s not ∈T です！■

>>199
>s1,s2,s3 ・・・が 全てのTを尽くしていることが、厳密に言えない
言えなくて良い
f(0),f(1),・・・が尽くしてるから

雑談くんがなんでs1,s2,s3 ・・・に拘るのか謎だが、Tの元の並び方は任意でよいんだよ
てか特定の並び方でないとダメだとしたら君詰んでるじゃん　>>177スルーしたよね？　シレっと

今日も何重にも間違える雑談くんでしたとさ

>>200-202
>>s1,s2,s3 ・・・が 全てのTを尽くしていることが、厳密に言えない
>言えなくて良い
>f(0),f(1),・・・が尽くしてるから

ふっふ、ほっほ
厳密には、『言えなくて良い』が、どこまで許されるのかは
若干の議論の余地があることは認めるけれども・・ｗｗｗ ；ｐ）

　>>133から再録
(cf en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument)
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
ここで、対角線上の 0 or 1 をビット反転させると
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)
ができる。これは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なる
・・
・・
背理法により・・成立
(引用終り)

すでに述べたように 可算選択公理から 可算整列（可能）定理を使ったことによる
証明の簡明性（>>199ご参照）が 大きく損なわれることになる
要するに、グダグダの議論の末にｗ もし それが証明として成り立っているとしても、その議論は 分りにくいだろうし
特に、ビット反転の s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...) が、真に 『s not ∈T』であることの立証が、十分でないだろう！
（>>198より『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』）

>>203
>厳密には、『言えなくて良い』が、どこまで許されるのかは
>若干の議論の余地があることは認めるけれども・・ｗｗｗ ；ｐ）
大間違い
全単射が存在するという仮定なんだからまったく議論の余地無し

>もし それが証明として成り立っているとしても、その議論は 分りにくいだろうし
可算整列可能定理という謎定理を持ち出すことこそ分かりにくいし、もっと問題なのは前提が増えてしまうこと、つまり分かりにくいだけじゃなくそもそも間違い。
そもそもTの元をすべて附番することは不可能なのに可算整列可能定理という謎定理を使って何をしたいのかが謎過ぎ。
馬鹿もほどほどにとしか言えん。

>カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている
対角線論法で使っているとは書かれてない
君の妄想に過ぎない

>>203
>Tの元の並び方は任意でよい
を認める？ Y/N

Nなら具体的並び方を示して
Yなら余計な前提（＝謎定理）を持ち込む必要は無いと思わない？　思わないならその必要な理由を示して

>>206
(引用開始)
>Tの元の並び方は任意でよい
を認める？ Y/N
Nなら具体的並び方を示して
(引用終り)

・答え N
・具体的並び方について述べる
　可算無限集合の例として 有理数Qが挙げられる。任意だとして 通常の大小並び（不等号 ＜ による）は、ダメですｗ
・例えば
　区間[0,1]の実数の集合Tで、Tには 有理数Qを含むことは妨げないとして
　区間[0,1]を三等分して、[0,1/3)、[1/3,2/3),[2/3,1]で
　まず 中央[1/3,2/3)で全ての有理数を含めて 可算とし
　[0,1/3)と[2/3,1]とからも、実数を可算の範囲で適当に選ぶとする
　よって Tは、可算濃度である
　いま、通常の大小 ＜ の順に並べるとする
・この場合において、中央[1/3,2/3)の有理数の全てを含む部分で
　自然数Nとの一対一対応が 通常の ＜ では うまくいかない（有理数が 直積 N × N になっているゆえ）
（少なくとも 全ての有理数の部分は、辞書式順序などを採用するべし（下記ご参照）。任意 絶対ダメ！ｗ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数Q
Q は可算無限集合である
Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、2つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも1つ（従って無数の）有理数が存在する

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
直積集合上の順序
2つの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類がある。
辞書式順序：
積順序
直積 N × N 上の辞書式順序
略す

>>146 補足
(引用開始)
(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
(引用終り)

この整列可能定理の系を思いついたので、書いておく
　>>203の集合Tとその元 s1,s2,s3 ・・・∈T の表記を借用する

＜整列可能定理の系（冒頭 有限個は任意）＞：
可算無限以上の濃度とする集合Tに対して、整列可能定理を認めるとする
このとき、冒頭有限個の元の整列 s1,s2,s3 ・・・snは、任意で良い
証明
Tの部分集合で、任意n個の集合{s1,s2,s3 ・・・sn}を考え、T'＝T＼{s1,s2,s3 ・・・sn}とする
Tの整列で冒頭の列として
s1,s2,s3 ・・・sn を取る
残り、T'に対し 整列可能定理により列
s'1,s'2,s'3 ・・・ ∈T' を作る
s1,s2,s3 ・・・sn,s'1,s'2,s'3 ・・・ と書ける
付番をやり直して
s1,s2,s3 ・・・sn,sn+1,s+2,s+3 ・・・ と書ける
これは、集合Tの整列であり、冒頭{s1,s2,s3 ・・・sn}は任意に取れる！■

>>207
君も負けず嫌いだね　それともただの馬鹿？

>・答え N
大間違い
Tの元を余すことなく並べたことが否定されればよいので、並べ方は任意でよい

>・具体的並び方について述べる
>　可算無限集合の例として 有理数Qが挙げられる
いや並べ方はTのだよｗ　何の話してんだよｗ
Qの並べ方は公知だろｗ　可算であることが証明されてんだからｗ　そんなんで誤魔化しちゃダメｗ

>>208
>可算無限以上の濃度とする集合Tに対して、整列可能定理を認めるとする
>このとき、冒頭有限個の元の整列 s1,s2,s3 ・・・snは、任意で良い
ワロタｗ　何だよこの主張？ｗ

>>184
> ある人が 対角線論法のために ある整列を構成したときに
> それが、果たして 自然数Nと 集合T との全単射が できるかどうか の証明が求められるのです

日本語になってないよ　ニホンザル
「（実数全体の）ある整列を構成したときに
　 それが、果たして 自然数Nと同型かどうか？」
なら日本語になってるけどね

でも「Nと同型なら矛盾」って対角線論法だよね
否定される命題を証明するの？　君、馬鹿？

>>196
>ふっふ、ほっほ
>その s1,s2,s3 ・・・が
>f(0),f(1),・・・ に該当するか
>否かの保証がないでしょ？
　保証？背理法で否定される命題が成立する保証？
　高校数学の背理法も理解できない？
　どこに背理法で否定される命題を証明する奴がいるの？

>もし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を用いなければ
>”全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていること”について
>つまり 『s not ∈T 』の明言の 数学的厳密性に
>疑義の余地ができてしまう のです

できねえわ　馬鹿

>>199
>もし、可算選択公理を仮定せず そこから導かれる可算整列可能定理を使わないで
>s1,s2,s3 ・・・が f(0),f(1),・・・ に該当する保証がなければ
>対角線論法で s1,s2,s3 ・・・ 以外の s の存在が言えても
>それが s not ∈T でなく s ∈Tの可能性の余地が、残ってしまうのです
残らねえわ　馬鹿
s1,s2,s3 ・・・が 全てのTを尽くしている、という前提から矛盾を導いたのだから
s ∈ Tだったら矛盾するだろが！！！

ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!!

対角線論法を「肯定形」で書くとこうなる

「任意のNからRへの単射fに対して
　どのs(n)とも一致しない実数r∈Rが存在する（つまりfは全射ではない)」

対偶を取った「否定形」は以下

「もしある順序数OからRへの全単射が存在するならば
　そのOはω(=N)ではない」

>>214
「もしある順序数OからRへの全単射が存在するならばそのOはω(=N)ではない」

もし、選択公理を仮定しないならば
そもそもいかなる順序数OからRへの全単射も存在しない場合もあり得る

ふっふ、ほっほ
ご苦労さまです

>>209
>>・答え N
>大間違い
>Tの元を余すことなく並べたことが否定されればよいので、並べ方は任意でよい

並べ方に、自由度があることは認めるが
しかし、完全な任意ではない！
そのことを、>>207で示した！！ｗ

>いや並べ方はTのだよｗ　何の話してんだよｗ
>Qの並べ方は公知だろｗ　可算であることが証明されてんだからｗ　そんなんで誤魔化しちゃダメｗ

Tは、区間[0,1]の実数の集合>>207
だから、Tに区間[0,1]の任意の有理数を含めることができる
その上で、『>Tの元の並び方は任意でよい を認める？ Y/N Nなら具体的並び方を示して』だった
Tに、>>207”中央[1/3,2/3)で全ての有理数を含めて 可算とし”
この可算無限の有理数が、通常の ＜ による並びでは、この場合は自然数Nとの対応がつかないという
反例を構成したのです■

>>210
>>可算無限以上の濃度とする集合Tに対して、整列可能定理を認めるとする
>>このとき、冒頭有限個の元の整列 s1,s2,s3 ・・・snは、任意で良い
>ワロタｗ　何だよこの主張？ｗ

この主張は、>>203に例示のように 対角線論法で冒頭
有限個の元の整列 s1,s2,・・ を具体的に書き下すことの
数学的な根拠を与える定理で、トリビアな定理だが
整列可能定理からは、簡単に導かれる
しかし、整列可能定理を否定するとどうなるか？ しらんけどｗ ；ｐ）
もし、整列可能定理を認めないとき
冒頭有限個の元の整列 s1,s2,・・ を 明示できないならば
対角線論法の簡明さ（もっと言えば シロウト分かりする）が、失われるだろうってことよ ；ｐ）

> もし、整列可能定理を認めないとき
> 冒頭有限個の元の整列 s1,s2,・・ を 明示できないならば
> 対角線論法の簡明さ（もっと言えば シロウト分かりする）が、失われるだろう
　シロウトの嘘分かりが失われると何が困るの
　ああ、おサルの君が５ｃｈでマウントできないってこと？
　
　そんなのしらんがな（バッサリ）

>>217
おサルさんさ
可算選択公理を認めれば、対角線論法がスッキリと簡明になるって話よ

そんなに 必死に 可算選択公理を否定することもないと思うよ ｗ

『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』
それだけの話なのだからｗ ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
可算選択公理
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。

>>218
> おサルさんさ
　おサルさんは君
> 可算選択公理を認めれば、対角線論法がスッキリと簡明になる
　対角線論法に、可算選択公理は全く必要ないけど
> 必死に 可算選択公理を否定することもない
　誰も可算選択公理を否定してない　肯定もしてないが
　無関係だから肯定しようが否定しようが結果は同じ
　わかる？おサルさん

>>218
>『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、
>　無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』
　対角線論法では全く使ってないけどな
　何を勝手に妄想してるのかな？
　大学数学が全く分からんおサルさん

>>214
うん
有名な資料で、旧ガロアすれでも取り上げたが

下記の ”自己言及の論理と計算∗長谷川真人”
”自己言及と対角線論法”
”停止性問題”
”対角線論法から不動点へ”
ここらが、重要キーワードだな （＾＾

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/index-j.html
長谷川 真人 （はせがわ・まさひと）
講義資料 「自己言及の論理と計算」（2006年5月改訂；2007年8月追記）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/selfref2006.pdf
自己言及の論理と計算∗長谷川真人
∗京都大学数理解析研究所 数学入門公開講座（2002年8月5〜8日）の予稿を改訂（2006年5月）／重要：2007年8月にSoto-Andrade とVarela の 1984 年の論文について追記

目次
I 自己言及と対角線論法
1 ラッセルの逆理
2 カントールの対角線論法
3 自己適用
4 停止性問題
5 対角線論法から不動点へ
6 不動点定理から具体例を見直す

>>221
>”自己言及と対角線論法”

対角線論法より以前に、カントールの最初の実数の非可算を証明した話が下記にある
しかし、繰り返すが >>218『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』
ので、下記で 可算選択公理の役割は、定かではない（多分使っていると推測しています）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument
（google訳）
実数
実数の非可算性はカントールの最初の非可算性の証明によってすでに確立されているが略

en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_first_set_theory_article
Cantor's first set theory article
（google訳）
カントールの最初の集合論の論文には、無限集合とその性質を研究する超限集合論におけるゲオルク・カントールの最初の定理が含まれている。これらの定理の1つは、すべての実数の集合は可算無限ではなく非可算無限であるという「革命的な発見」である。[ 1 ]この定理は、カントールの最初の非可算性の証明を使用して証明されており、これは対角線論法を使用したより一般的な証明とは異なる。論文のタイトル「すべての実代数的数の集合の特性について」("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen") は、その最初の定理である、実代数的数の集合は可算であることを指し示している。カントールの論文は1874年に発表された。1879年、彼は集合が区間内に 稠密であるという位相的な概念を使用して非可算性の証明を修正した。

記事
カントールの論文は短く、4ページ半未満である。[ A ]論文は実代数的数の議論と彼の第一定理の記述で始まる。実代数的数の集合は正の整数の集合と1対1に対応させることができる。[ 3 ]カントールはこの定理を当時の数学者に馴染みのある言葉で言い換える。「実代数的数の集合は、各数が1回だけ現れる無限列として表すことができる。」[ 4 ]

カントールの第二定理は、実数 ≥ aかつ ≤ bの集合である 閉区間[ a , b ] で機能します。定理は次のように述べています。実数列x 1、x 2、x 3、... と任意の区間 [ a、 b ] が与えられた場合、[ a、 b ] には、与えられた列に含まれない数があります。したがって、そのような数は無限にあります。 [ 5 ]

カントルは、2つの定理を組み合わせると、すべての区間[ a、 b ]には無限の超越数が含まれるというリウヴィルの定理の新たな証明が得られると指摘している。[ 5 ]

カントルは、彼の第二の定理は次のように述べている。

いわゆる連続体を形成する実数の集合（例えば、0以上1以下のすべての実数）が、集合（ν）[すべての正の整数の集合]と一対一に対応できない理由。こうして、いわゆる連続体と実代数的数の総体のような集合との明確な違いを発見した。[ 6 ]

この注釈にはカントールの不可算定理が含まれているが、これは区間 [ a , b ] が正の整数の集合と一対一に対応付けられないことのみを述べている。この区間が正の整数の集合よりも大きな濃度の無限集合であるとは述べていない。濃度は1878年に発表されたカントールの次の論文で定義されている。[ 7 ]

つづく

つづき

カントールの不可算定理の証明[見せる]
カントルは彼の不可算定理を述べるだけで、いかなる証明にもそれを使用していない。[ 3 ]

The proofs
First theorem
略す
Second theorem
略す

Cantor's 1879 uncountability proof
Everywhere dense
略す
Cantor's 1879 proof
略す
The development of Cantor's ideas
略す
A misconception about Cantor's work
（google訳）
カントルの作品に関する誤解
集合論を専門とする金森明宏は、「カントールの研究に関する記述は、超越数の存在を推論する順序をほとんど逆にしており、まず実数の不可算性を証明し、次に代数的数の可算性から存在の結論を導き出している。教科書ではこの逆転は避けられないのかもしれないが、これはカントールの議論が非構成的であるという誤解を助長している」と述べている。[ 29 ]
(引用終り)
以上

>>221-222 補足

”自己言及の論理と計算∗長谷川真人”
の受け売りだが
”自己言及と対角線論法”などにあるように
対角線論法は、集合論の 実数の非可算を越えて
いろんな分野で、使われるようになった

その意味で、対角線論法は
超重要キーワードってことです！（＾＾

>>100
(引用開始)
なんらかの
例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？
(引用終り)

戻るよ

・可算選択公理や、従属選択公理 なしで
　有理コーシー列は出来る
・なにかが出来る
　多分、これ実数だろうｗ ；ｐ）

それで、詰みですか？
それ以上、何か言えますか？ｗ ；ｐ）

>>207
>・この場合において、中央[1/3,2/3)の有理数の全てを含む部分で
>　自然数Nとの一対一対応が 通常の ＜ では うまくいかない
Q∩TとNとの一対一対応を取る必要がまったく無い。よって反論になってない。
繰り返すが、Tの元を余す事無く並べ切れてないことが言えればよいのだから並べ方は任意でよい。

>>216
>並べ方に、自由度があることは認めるが
>しかし、完全な任意ではない！
完全に任意

>そのことを、>>207で示した！！ｗ
示せてないことを>>226で示した

>この主張は、>>203に例示のように 対角線論法で冒頭
>有限個の元の整列 s1,s2,・・ を具体的に書き下すことの
>数学的な根拠を与える定理で、トリビアな定理だが
無意味

>>218
>可算選択公理を認めれば、対角線論法がスッキリと簡明になるって話よ
複雑になるだけでなく、余計な前提が必要になるから間違い

>そんなに 必死に 可算選択公理を否定することもないと思うよ ｗ
道理を理解できない馬鹿が頑なに間違いを認めないだけの話

>>『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』
>それだけの話なのだからｗ ；ｐ）
「それだけ」が謎だが、選択公理の必要性が認識される前の時代の話を持ち出したところで君の間違いが正当化されることは無い。

>>225
「ZFで実数は存在しない」
という君の主張が間違いであることは認めるの？

>それ以上、何か言えますか？ｗ ；ｐ）
愚問
選択公理の必要性は命題ごとの個別論。

>>224
>その意味で、対角線論法は
>超重要キーワードってことです！（＾＾
君はその超重要な対角線論法をまったく理解できていないけどなｗ
可算選択公理が必要などと抜かす馬鹿は君以外いないだろう

>>222
Rの非可算性＝RとNとの一対一対応が存在しない　という意味なら
対角線論法で証明でき、その場合、可算選択公理など全く必要ない

ただ
Rの非可算性＝RはNより大きい順序数と一対一対応する　という意味なら
当然ながらRの整列可能性を主張するわけなので、例えば
Ｒの全ての部分集合からその中の要素１つを選ぶ選択関数の存在を認める
選択公理が必要である
（上記の関数があれば、Ｒから１つずつ要素を取り除くことによって
　Ｒの整列を作ることが可能である　
　しかしこれだけではＲがいかなる順序数と１対１対応するかは定まらない）

Ｒが整列不可能、ということは
Ｒの全ての部分集合からその中の要素１つを選ぶ選択関数なんて存在しない
ということ

まあ、一見驚きだが、よく考えてみれば
Ｒの全ての要素すらわからんのに、
さらにＲの全ての部分集合なんかわかりようもなく
そこから１つの要素を取りだすなんてのも見当がつかないので
まあ、なくても矛盾は導けないかもな、とは思う

コーエンのフォーシングによる結果以降、
集合論からフィールズ賞が出ないのは
もっともと思えることもある

連続体仮説のような基本的な問題について決定不能というんじゃ
他のもっと込み入った問題でなんか結果が出たところで全然インパクトがない

いかなる学問分野でも、主要な問題で何等かの成果がでると
そのあと、いかほど難しい問題が解けても、だから何なの？
といわれてしまうように思う

ところで雑談くん
>>177はお得意のスルー芸ですかな？
整列定理で実数の整列順序の具体化は可能なんでしょ？　早く具体化してよ

戻る

　>>83-84 より再録
fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理
（google訳）
たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。
誤解
一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。
（google 仏→英 訳）
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R -. R is continuous i. it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X -. R with
metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.

つづく

つづき

Notes et références
3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3,‎ 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.

archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R −→ R is continuous iff it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X −→ R with metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.
Proposition 1.2 ([15]). Equivalent are:
1. in R, every bounded infinite set contains a convergent injective sequence,
2. every infinite subset of R is Dedekind-infinite.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([18]).
Obviously, the conditions of Theorem 1.1 imply the conditions of Proposition 1.2.
Is the converse true?
Observe that the following slight modifications of condition 1 in Proposition 1.2 hold in ZF:
(a) in R, every bounded countable set contains a convergent injective sequence,
(b) in R, for every bounded infinite set there exists an accumulation point.
(引用終り)
以上

>>235
>戻る
未練がましい
いくらコピペを重ねても「ZFで実数は存在しない」なる間違いが正しくなることは無い

ところでXが可算集合だとして、
もし選択公理による整列定理の方法でXを整列する場合、
選択公理を可算選択公理にしたら不可能

なぜならば、Xの空でない部分集合の全体が可算集合でなく非可算集合だから

まあ、実際にはXが可算であるとわかっているならば
ωとの一対一対応を使えば整列できる
（Xが可算であると示す、つまりωとの一対一対応を示すのに
　可算選択公理を使うことはあるかもしれんが
　Xが非可算であるとする場合には、ωとの一対一対応があると前提して
　そこから矛盾を導くのだから、ωとの一対一対応の存在を証明できるわけもなく
　もちろんそんなことする必要もない）

>>235-236より

1）可算選択の公理なしで、コーシー列の収束が言えることと
　上記 fr.wikipedia 可算選択公理における下記の記述とは、矛盾しない と思う
”Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.”

2）つまり、可算選択の公理なしで、コーシー列の収束が言えるとして
　その上で、可算選択公理を認めると
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
”4. each subspace of R is separable,”
”5. R is a Lindel¨ of space,”
　成立！

3）というか、”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　と、Equivalent である！

つづく

つづき

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Separable_space
Separable space
In mathematics, a topological space is called separable if it contains a countable, dense subset; that is, there exists a sequence
{xn}n=1〜∞ of elements of the space such that every nonempty open subset of the space contains at least one element of the sequence.
Like the other axioms of countability, separability is a "limitation on size", not necessarily in terms of cardinality (though, in the presence of the Hausdorff axiom, this does turn out to be the case; see below) but in a more subtle topological sense. In particular, every continuous function on a separable space whose image is a subset of a Hausdorff space is determined by its values on the countable dense subset.

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E5%88%86%E7%A9%BA%E9%96%93
可分空間
数学の位相空間論における可分空間（かぶんくうかん、英: separable space）とは、可算な稠密部分集合を持つような位相空間をいう。つまり、空間の点列 {xn}∞〜n=1 で、その空間の空でない任意の開集合が少なくとも一つその点列の項を含むものが存在する。
他の可算公理と同様に、可分性は空間の「大きさの制限」を与えるものである。これは必ずしも濃度に関するものではなく、より微妙な位相的な意味での「大きさ」である。（ただしハウスドルフ空間の場合は濃度に関する制限にもなっている。下記参照。）特に、可分空間上の連続写像でその像がハウスドルフ空間の部分集合であるようなものは全て、その可算稠密部分集合上の値によって決定される。
一般に、可分性は極めて有用で（幾何学や古典的な解析学で研究されるような空間のクラスに対しては）きわめて緩やかなものと一般に考えられる、空間への技術的仮定である。可分性とそれに関連のある第二可算性の概念の比較は重要である（第二可算のほうが一般には強い条件だが、距離化可能な空間のクラスでは同値になる。
(引用終り)
以上

>>239
(引用開始)
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
(引用終り)

1）リンデレフ空間 までしか言えてない　；ｐ）
2）Rだと、Compact space なのだが・・、下記 Compact space
　Metric spaces の項 で、”For any metric space (X, d), the following are equivalent (assuming countable choice)”
　とあって、
”3.(X, d) is sequentially compact; that is, every sequence in X has a convergent subsequence whose limit is in X (this is also equivalent to compactness for first-countable uniform spaces).
　4.(X, d) is limit point compact (also called weakly countably compact); that is, every infinite subset of X has at least one limit point in X.”　か・・
3）とすると、(assuming countable choice) ならば、>>239より
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　だから、不足しているのは Rが ”Metric” であることだが。”Rが Metric”をいうには、countable choice だけでは 不足なのかな？

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Lindel%C3%B6f_space
Lindelöf space
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AC%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
リンデレフ空間（英: Lindelöf space; リンデレーフ空間）は、任意の開被覆が可算部分被覆を持つような位相空間である。リンデレフ性は、有限部分被覆の存在を要求するコンパクト性の概念を弱めたものである。

つづく

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space
Compact space
（google訳）
数学、特に一般位相幾何学において、コンパクト性はユークリッド空間の閉じた有界部分集合の概念を一般化しようとする性質である。[ 1 ]コンパクト空間には「穴」や「欠けている端点」がなく、すべての点の極限値が含まれているという考え方である。例えば、開区間(0,1) は 0 と 1 の極限値を除外するためコンパクトではないが、閉区間 [0,1] はコンパクトである。同様に、有理数の空間Qは
コンパクトではない。なぜなら、無理数に対応する「穴」が無限にあり、実数空間Rは
2つの極限値+∞ 、−∞を除外しているため、コンパクトではありません。
しかし、拡張された実数直線は両方の無限大を含むためコンパクトになります。
この経験的概念を正確にする方法は多数あります。
これらの方法は通常、計量空間では一致しますが、他の位相空間では同等ではない場合があります

（原文）
Metric spaces
For any metric space (X, d), the following are equivalent (assuming countable choice):
1.(X, d) is compact.
2.(X, d) is complete and totally bounded (this is also equivalent to compactness for uniform spaces).[14]
3.(X, d) is sequentially compact; that is, every sequence in X has a convergent subsequence whose limit is in X (this is also equivalent to compactness for first-countable uniform spaces).
4.(X, d) is limit point compact (also called weakly countably compact); that is, every infinite subset of X has at least one limit point in X.
5.(X, d) is countably compact; that is, every countable open cover of X has a finite subcover.
6.(X, d) is an image of a continuous function from the Cantor set.[15]
7.Every decreasing nested sequence of nonempty closed subsets S1 ⊇ S2 ⊇ ... in (X, d) has a nonempty intersection.
8.Every increasing nested sequence of proper open subsets S1 ⊆ S2 ⊆ ... in (X, d) fails to cover X.
(引用終り)

>Rだと、Compact space なのだが・・
　ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ ﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊ !!!

Rがコンパクト空間とか嘘八百ほざくサル初めてみたわ

さすが工学部卒のニホンザル

ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ ﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊ !!!

>Rだと、Compact space なのだが・・
読点が入っていて、しかもCompactが大文字で
始まっているので
Rがコンパクトであるという主張を述べているようには思えない。

>>244-246
ふっふ、ほっほ

　>>255 より再録
(引用開始)
なんらかの
例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？
(引用終り)

戻るよ

・可算選択公理や、従属選択公理 なしで
　有理コーシー列は出来る
・なにかが出来る
　多分、これ実数だろうｗ ；ｐ）

それで、詰みですか？
それ以上、何か言えますか？ｗ ；ｐ）
(引用終り)

>>247
>>229
コピペザルは字も読めないのかい？

>>242
(引用開始)
3）とすると、(assuming countable choice) ならば、>>239より
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　だから、不足しているのは Rが ”Metric” であることだが。”Rが Metric”をいうには、countable choice だけでは 不足なのかな？
(引用終り)

下記 Construction of the real numbers の
Construction from Cauchy sequences で
metric spaces として completion（完備）までやっているが、どの選択公理を使うかの記述がない
”axiom of dependent choice”だと思うのだが・・ （＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Construction of the real numbers
Explicit constructions of models

Construction from Cauchy sequences
A standard procedure to force all Cauchy sequences in a metric space to converge is adding new points to the metric space in a process called completion.
R is defined as the completion of the set
Q of the rational numbers with respect to the metric |x − y| Normally, metrics are defined with real numbers as values, but this does not make the construction/definition circular, since all numbers that are implied (even implicitly) are rational numbers.[5]

An advantage of constructing
R as the completion of
Q is that this construction can be used for every other metric spaces.

>>250
コピペは無駄だからやめたら？
これまでコピペにコピペを重ねてきた結果「仮定は証明不要」すら身に付かなかったんでしょ？　ほら無駄じゃん

>>251
論理の初歩が分かってない人がどんなに知識を貪っても消化できず腹を下す典型かと

>>251-252
夜中の必死のパッチ ご苦労さまです

いや、消化とかじゃなくｗ
公開処刑ですｗｗ
箱入り無数目の あの あほ二人のね！ｗｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://www.weblio.jp/content/%E5%BF%85%E6%AD%BB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%83%E3%83%81
Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > 日本語表現辞典 > 必死のパッチの意味・解説
必死のパッチ
読み方：ひっしのぱっち
必死のパッチ（ひっしのぱっち）とは、これ以上ないほど努力している様子を表す言葉で、主に関西を中心に使われている。この表現は、将棋用語の、絶体絶命の状況から逆転するために、最善の一手を打つことを指す「必至のパッチ」から変化したものではないかと言われている。現代では、一般的な会話やネット上でも使われ、困難な状況から脱出するために全力で取り組む様子を描写する際に用いられる。また、必死のパッチは、人間の強い意志や決意を象徴する表現ともなっている。
（2023年9月21日更新）

こちらにも、転載しておきますね ；ｐ）

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735297276/774
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋28(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part2ｗ)
より
実数の構成：
原隆先生　（九州大学数理学研究院）
田崎晴明先生 学習院
を貼っておきます

昔、旧ガロアすれで、落合理先生の 阪大准教授時代の 実数の構成のpdfがあって
取り上げたことがあるが
いま、落合理先生は東工大教授（いま 東京科学大学）へ移られて、リンク切れてしまったみたいです
あれは、原隆先生に匹敵する立派な資料だったのだが （＾＾

（参考）
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/index-j.html
原隆のホームページ
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原　隆　（九州大学数理学研究院）
dated: Juy10,2007
概要
これは僕の微積の講義ノートの付録として，また「数学II」の補助ノートとして，実数論の初歩を書いたものです．具体的には「有理数の切断」としての実数の構成を2章で，また「コーシー列の同値類」としての実数の構成を3章で論じた後，両者が基本的に同値なものである事を4章で述べました．そのあと，更に舞台を拡げて，実数の公理を満たす体は本質的に一つに決まることを簡単に5章で説明してあります．（おことわり）当初（2006年度）は１年生にも読める参考文献を僕が知らなかったので，このノートが講義の役に立てばと思って書き始めました．しかし，2006年の学期の終わりにさしかかって疲れがでてきた上に，良い参考文献がたくさんあることに気づいたので，完結したノートとして完成させる根性がなくなってしまいました．一旦勢いがなくなると物事が進まなくなるのは世の常．という訳でいくつかの部分は不完全のママです．（例：切断による実数の構成における乗法と除法の定義；また，切断による構成において加法がちゃんと定義できている事の証明は，先に乗法のものを書いてしまったので，書き直す気力がなく）．また，かなりのミスプリも混じっていたり，記述が非常に不親切なところもあるでしょう．一方で，もっとすっきり行くところが回りくどくなっている部分もあります．これらの点もあらかじめお詫びし，自己責任で使用される事をお願いします．（2007年7月10日版）これは去年のものからほとんど変わっていません．ただ，数の「切断」と書くべきところ，かなりの部分で「分割」と書いていたことを指摘されたので，それをすべて切断に訂正しました．（指摘して下さった学生さん，どうもありがとうございました．）また，４章でいくつかのミスプリを発見したので，訂正しました．
目次
1はじめに 2
1.1実数の公理. . 3
2実数の構成（デデキントの切断による）
3実数の構成ふたたび（有理数の完備化による）
4実数の２つの構成法の同等性
5実数の一意性
6文献案内など

https://www.gakushuin.ac.jp/~881791/modphys/11/
田崎晴明
学習院大学理学部物理学教室
https://www.gakushuin.ac.jp/~881791/modphys/11/RealNote1105.pdf
実数の構成について
田崎晴明 学習院 2011 年5月8日

>>253
> 必死のパッチ
　自虐？

>>254
> 転載
　荒らし？

田崎さんと初めて会ったとき
話始めてすぐに
この人は本を書いたことがあると分かった

>>257
> 本を書いたことがある
　何の？