>>337 >>340
>順序数を作るのに整列可能定理は一切不要だよ
>ところで、昔の和書では ・・ ツォルンの補題を経由していたが

うむ 下記ですな
順序は 何度も読んだが、厳密を求めると 結構複雑です ；ｐ）
下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
を使うと、循環論法になる
ツォルンの補題を経由すると、”循環論法！”と言われるのを、一応避けられるね ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[*1]を拡張させた概念である。
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする写像 GA, < を超限帰納法によって
GA,<(a)={GA,<(x)∣x<a}
と定義したとき、GA, < の値域 ran(GA, <) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。
ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[*2]。

ブラリ＝フォルティの定理**)
ブラリ＝フォルティの定理とは、「すべての順序数からなる集合は存在しない」という定理である。これは次のようにして示すことができる：
略す
かつて、集合論が公理化される以前には、「集合全体の集合」や「順序数全体の集合」といったものも無制限に考えられていたため、上のように順序数全体の集合を考えたときに起こる矛盾はブラリ＝フォルティのパラドックスと呼ばれていた。

集合の濃度と基数
→詳細は「濃度 (数学)」を参照
集合 A から集合 B への全単射が存在するとき、A と B は同数 (equinumerous) であるといい、A ≈ B で表す。
選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える。***)
そこで、集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度 (cardinality of A) といい、これを |A| あるいは card(A) で表す。ある集合 A に対して α = |A| である順序数 α を基数 (cardinal number) と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ：
|A| = |B| 　⇔　 A ≈ B
A が有限集合のとき、|A| は A の要素の個数に等しい。
基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる。

脚注
*1^ 本項目では、各自然数が自分自身より小さな自然数全体の集合と等しくなるような仕方で自然数が定義されているものとする。例えば、0 = Φ , 1 = { 0 } , 2 = { 0, 1 } である。

つづく