公開処刑
　>>292 より
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。
(引用終り)

1）これ、ID:WVUbhM43さんのご指摘
　>>307『f({a,b})=a, f({b,c})=b, f({c,a})=c
　なるfのとき、a,b,cの順序は定まりますかね？』
2）また >>313-315 『たとえば、X(全集合)={a,b,c}で
　f({a,b,c})=a, f({b,c})=b のとき、a<b<c と整列する。
　このとき、f({a,b}),f({c,a})の値は使われない。
　（aがf({a,b,c})=aとしてあらわれているから。）
　というわけで、選択函数fがあっても
　すべての値を使うのではなく、一部の値しか使われない。
　そして、一つずつ元が減っていくという関係で
　（部分集合全体のなす集合）のある部分集合が、Xを
　最初の集合として、一列に並ぶ。
　このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている
　という仕組み。
　fのすべての値を使ってるわけではないが、fがあれば
　「一つずつ元が減っていくという関係で（部分集合全体のなす集合）
　のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも
　すっきり示される形になっている。』
3）この二つのご指摘の意味分ってないでしょ？
　上記1）は、2項関係の定義になっていません
　上記2）は、”Xの任意の空でない部分集合Y”は、やり過ぎ
　それだと、無駄に複雑にしているだけ
　最小限として、”一列に並ぶ”、”一つずつ減っていく元”
　を実現するには、選択関数を べき集合で 任意の空でない部分集合Y＝2^X
　は、無駄に複雑にしているだけ

まあ、この指摘を言われて
この二つ 理解できていないかったのかな？