>>310より再録と補足
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be
A, and let
f be a choice function for the family of non-empty subsets of
A. For every ordinal (number) α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering
(or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

1）さて 海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします）
Set Theory
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
冒頭
”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite
one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A .
と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている）
最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている
（enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）

2）ここで、選択関数を書き直すと
　f： A∖{aξ∣ξ<α} → A∖{aξ∣ξ<α} となる
　>>320に記したように、選択公理の A∖{aξ∣ξ<α} が集合族の役割を果たしている
　集合 A∖{aξ∣ξ<α} の濃度は、元の集合A以下だ（∵ Aより ∖{aξ∣ξ<α} の分だけ減少している）

3）繰り返すが 集合族 として Aξ：＝A∖{aξ∣ξ<α} と書き直すと
　∖{aξ∣ξ<α}によって、集合 Aの元 aξ をどんどん減らして 最後空になるまで続けるのだから
　順序数 ξを集めた 集合も その濃度は Aを越えない

4）よって 再度強調するが、いま 上記 選択公理→整列可能定理の証明で扱うとき
　集合族における 各集合 Aξ：＝A∖{aξ∣ξ<α} の濃度は 元の Aを越えない

なので、>>390に引用した ”定理　選択公理⇒整列定理”の
『Xの任意の空でない部分集合Y』を考えて べき集合2^X を考える必要は 多分全くｗｗ 無くｗｗｗ
上記 Jech, Thomas の 証明においては、全く不要であって　過剰であると 言える！■