>>409 補足
(引用開始)
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
(引用終り)

初心者のために
1）これ、二項関係≦ の定義に、まったくなっていない
　つまり、>>409に記したように
　”数学の風景 二項関係とは で
　『R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合
　A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。
　(x,y)∈R のことを，xRy ともかく』とある通りです
　（Rは実数ではなく、関係のことです）
　それで、二項関係は、直積A^2に対して、外から 関係Rを決めてやらないと、二項関係にならない
　A^2 =A×A 全体ではなく、部分集合R⊂A×A たる 集合Rを決めないといけないのです！”
　ということ
2）例えば、集合{0,1,2,3}と4元の集合で
　ここに、整列可能定理を適用して、お好みで
　3≦1≦0≦2 と整列させた。3は長嶋背番号、1は王貞治背番号、0はかっこいい と
3）で、直積A^2の話
　(3,3) (3,1) (3,0) (3,2)
　(1,3) (1,1) (1,0) (1,2)
　(0,3) (0,1) (0,0) (0,2)
　(2,3) (2,1) (2,0) (2,2)
　となって、正方形 直積A^2 ができる
　二項関係 ≦は、いまの場合
　この正方形の対角線より上の部分の集合のことです
4）これを、例えば 実数Rに適用すると
　3≦1≦0≦2≦r4≦r5≦r6・・・｜ r4,r5,r6・・・∈R
　と、非可算の長さの順序列ができる
　これを、縦にも並べて、上記 3)項のペア(順対)を、RxR 作る
　この 非可算列よりなる正方形（一応分かり易くこう表現）の
　対角線より 上の部分の集合が、実数Rの 2項関係 ≦ による整列です
　列 r4,r5,r6・・・の部分は、最後まで具体的に書くことはできないが
　整列可能定理は、数学として その存在を保証するのです
（蛇足だが、列 r4,r5,r6・・・の先頭有限部分は、好きな並びにして 残りを 整列可能定理に任せて良い）
5）さて、上記1)〜4）と、冒頭の ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) を対比してみると
　まったく、2項関係の定義として、サマになっていないｗ ；ｐ）
　例えば、∀y∈Y.(f(Y)≦y)ってなに？ そのすぐ上に f(Y)=y に書いてあるから 「y≦y」？
　それとも、Y＝X として （∵Xの任意の空でない部分集合Y）
　f(X)=x ｜ x≠Φ（空集合） とできる
　すると、f(Y)≦y) → ∀x≦y ？
　x は、集合Xの任意の元だから、∀x≦y って、全くナンセンス（無限集合だと、最大値が存在しないかも）
　こんなん、2項関係の定義として、全くサマになっていない！■

”∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) ”の記号表記に 自己陶酔している
その実、選択公理も 整列可能定理も、そもそも2項関係の根本から分ってない！
こんなやつが、数学科修士卒を鼻に掛けて、いばる 便所板 5ｃｈ
滑稽極まりないなｗ ；ｐ）