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(引用開始)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
Let the set we are trying to well-order be A,
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
冒頭
”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite
one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A .
と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている）
最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている
（enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）
(引用終り)

さて、
1）冒頭 ”of order type sup{α∣aα is defined}.”の部分は、平たくいえば
　整列させようとする集合Aについて、集合Aは濃度を持つので、その濃度から 対応する 順序数の列長さが決まる
　それを、”of order type sup{α∣aα is defined}.”と書いたり、
　” it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A”、最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”
　としているのでしょう
2）なお、トマーシュ・イェフ（Tomáš Jech, 1944年1月29日 - ）さん、基礎論の世界では有名らしい
　で、”大著『集合論』(Set Theory)はその後も改訂を重ね、公理的集合論における代表的な教科書として読み継がれている”
　とあります。en.wikipediaの証明は、そこに依拠している

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BB%E3%82%A4%E3%82%A7%E3%83%95
トマーシュ・イェフ（Tomáš Jech, 1944年1月29日 - ）はチェコ出身の数学者。専門は公理的集合論、集合論的位相空間論、測度論等。英語圏での活動が長く、著作の署名には英語ふうの“Thomas”（トーマス）を用いることが多い。エルデシュ数は2。

1978年に出版された大著『集合論』(Set Theory)はその後も改訂を重ね、公理的集合論における代表的な教科書として読み継がれている。
Thomas J. Jech, Set Theory, Academic Press, 1978. 2nd ed., Springer, 1997. 3rd ed., Springer, 2002 (ISBN 9783540440857).

https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Jech
Thomas J. Jech (Czech: Tomáš Jech, pronounced [ˈtomaːʃ ˈjɛx]; born 29 January 1944 in Prague) is a mathematician specializing in set theory who was at Penn State for more than 25 years.

External links
https://web.archive.org/web/20120504114504/http://www.math.cas.cz/~jech/
Home page Archived 2012-05-04 at the Wayback Machine, with a copy at Penn state.