つづき

４）さて 尾畑研 整列集合 定理13.14 より、順序同型 を 考えて
　さらに 14.1順序型としての順序数 から 整列集合の順序型→順序数 を使うことを思いつくだろう（Jechのテキストにも書いてある）
　もし、この ”整列集合の順序型→順序数”を使わないで、自力で順序を導入して ”整列順序”の「・・任意部分集合が最小元をもつ」を証明しよとすると、大変だろ
　ここを処理するのが、一つは 上記 Jechの順序数との対応付け
　もう一つが、ツォルンの補題を使うスジです（下記 尾畑研 13.3 整列可能定理 ご参照）

５）また、上記 Jech ”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.”は
　下記のen.wikipedia の Well-ordering theoremの証明では、省かれているよ
　溺れる者は藁をもつかむだろうｗ ；ｐ）
　さらに、Jech ”Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.”
　が、下記 en.wikipedia の Well-ordering theoremの証明の ”of order type sup{α∣aα is defined}.”に対応している

(参考)
東北大 尾畑研(いつもお世話になっております)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1
第13章 整列集合
13.1 整列集合
順序集合(X,≼)はすべての空でない部分集合が最小元をもつとき,整列集合であるといいそのような順序を整列順序という
P194
定理13.14 整列集合に対して次の3つの場合のうちいずれかつだけが成り立つ
(i)XとYは順序同型である
(ii)XとYの切片が順序同型である
(iii)Xの切片とYが順序同型である

13.3 整列可能定理
ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_14.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1
第14章順序数
14.1順序型としての順序数
一般に順序同型な2つの順序集合は同じ順序型をもつといい 整列集合の順序型を順序数という
つまり順序数αというときは それに対応する整列集合(A,≼)を念頭にして それと順序同型な整列集合を代表するものと理解する
このあたりの取扱いは集合の濃度と同様である
なお順序数そのものの定義は第14.3節で与える

つづく