>>472 追加
　>>385より再録
要するに
・選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限)
・従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上だが制限あり)*)
・可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *)
・有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限)
　追加の注）
　*) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする
　そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる
　なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる
　なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる（可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず）
　なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と 可算整列可能定理の類似が、equivalent
　例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　∵A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと
(引用終り)

さて、繰り返すが
フルパワー選択公理より弱い 選択公理の変種がいろいろ あります
選択公理の変種のパワーは、形成できる列の長さで測れる。すなわち
有限選択定理(有限列) ＜ 可算選択公理ACω(列ωまで) ＜ 従属選択公理DC(列 可算無限ω以上だが制限あり) ＜ 選択公理(列 無制限)

また、下記 Horst Herrlich にあるように
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
と ”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
とが、Equivalent
A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列ωの構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと>>385
(”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”ぼ正確な定義が不明だが、最弱の可算選択公理(可算無限ωに制限) を、
　さらに ”for countable collections of subsets of R.”に制限している )
なので
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　↓↑
”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
証明は、文献 [15], [29], [30]にあるらしい ；ｐ）

つづく