>>550
>実数とは連続公理を満たす順序体（の元）である
>よってZFで連続公理を満たす順序体が構成できればそれがZF上の実数である
>それ以上でも以下でもない

なるほど
それは、理屈だ
至言ですね

よって、結論
・ZFで、コーシー列の収束は証明できる。そこで詰み
・ZF+可算選択公理で、先に進める。例えば、”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）>>547
　（”5. R is a Lindel¨ of space,”では、まだ不十分）
・さらに先に進むには、さらなる強いパワーの従属選択公理DCかAC(フルパワー選択公理)が必要

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7
実数の連続性（continuity of real numbers）とは、実数の集合がもつ性質である。有理数はこの性質を持たない。
実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。
なお、ここで言う連続性は、関数の連続性とは別の概念である。
実数の連続性と同値な命題
実数の連続性と同値な命題は多数存在する。順序体（位相は順序位相を入れる）において、実数の公理は
1.デデキントの公理
2.上限性質を持つ
3.有界単調数列の収束定理
4.アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす
5.ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
6.次の２条件を満たす
・アルキメデス性を持つ
・コーシー列は収束する
7.中間値の定理
8.最大値の定理
9.ロルの定理
10.ラグランジュの平均値の定理
11.コーシーの平均値の定理
12.ハイネ・ボレルの定理
と同値である。
赤摂也『実数論講義』 には、これらの命題を含めて22個の同値な命題とその証明が記されている。

https://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers
Completeness is a property of the real numbers that, intuitively, implies that there are no "gaps" (in Dedekind's terminology) or "missing points" in the real number line. This contrasts with the rational numbers, whose corresponding number line has a "gap" at each irrational value. In the decimal number system, completeness is equivalent to the statement that any infinite string of decimal digits is actually a decimal representation for some real number.
Depending on the construction of the real numbers used, completeness may take the form of an axiom (the completeness axiom), or may be a theorem proven from the construction. There are many equivalent forms of completeness, the most prominent being Dedekind completeness and Cauchy completeness (completeness as a metric space).

つづく