>>557
>　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？

同意です
その筋は、ツォルンの補題の証明に書いてあった
『この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。』
とか。（まだ、分ってないので、ツッコミなしね）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題（英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題
証明の概略
選択公理を仮定したツォルンの補題の証明を概略する。補題が成り立たないと仮定する。このとき半順序集合 P を、全ての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もそれより大きな元を持つように取れる。
関数 b を実際に定義するには選択公理を使う必要がある。
この関数 b を使うことで、P の元の列 a0 < a1 < a2 < a3 < ... を定めることができる。この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。
aiは次の超限帰納法で定義する。
略す
(引用終り)

>　それ、論点先取
>　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから

そうかも
いま、基礎論の教科書を書いているとする
そうすると、整列可能定理の証明前に、任意集合Aが なんらかの濃度を持つという
集合の濃度の章（or 節）を、すでに書いているかどうか（書けるかどうか）
だね

>>556
>「ZFで実数は存在しない」

・ZFで、有理数のコーシー列の収束が言えて
　それらの集合の存在が言える
・それらの集合をＲと名付ける
　では、集合Ｒの性質はどうか？
・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）
・ここから先、つまりリンデレーエフ空間より先
　デデキントやカントールが成したような 実数の公理を満たすところまで進むには、
　可算選択公理とのEquivalentを破る
　可算選択公理の上位の選択公理（従属選択公理DC や フルパワー選択公理AC）が必要■