”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>606 補足
(引用開始)
2）つまり、集合の濃度の割り当てには
　ノイマン流（選択公理を仮定する）と
　スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う）
　がある
（これで「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」）
(引用終り)

補足しておく
1）いま、簡単に自然数N={0,1,2,3,4,・・・}を整列させるとき
　一番単純には、0,1,2,3,4,・・・ と 普通の大小の順にすれば良い
　このとき、列長さはωになる
　ところが、0,2,4,・・・,1,3,5,・・・ と
　偶数を先にして、奇数をその後にすれば、列長さはω+ω=ω・2 になる
　もし、mod m m>2 で同じようにすると、列長さはω・m になる
2）そして、mはいくらでも増やせるが、いくら増やしても
　最小の非可算順序数 ω1（＝アレフ・ワン ℵ1）を超えることはできない
　到達することもない
3）自然数Nの冪集合P(N)=2^N の濃度は、アレフ・ワン ℵ1である
（自然数Nの濃度は、アレフ・ゼロℵ0）
　これを一般化すると、無限集合Aがなんらかのアレフ number であったとして
　それを、整列させるやり方は、上記の自然数Nの例示と同様に、一つではなく
　また、整列の長さも異なるが、その列の長さは 一つ上の アレフ numberを超えることはない
　到達することもない■

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
冪集合
冪集合の濃度
冪集合の濃度は元の集合の濃度より常に大きい（カントールの定理）。有限集合のときにはこれは自明である。一般の場合は、カントールの対角線論法によって示される。

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0
アレフ数（英: aleph number）は無限集合の濃度（あるいは大きさ）を表現するために使われる順序数のクラスである。
自然数全体の集合の濃度はアレフ・ノート ℵ0（aleph-naught; アレフ・ヌル (aleph-null) あるいはアレフ・ゼロ (aleph-zero) とも）であり、それより一段階大きい濃度がアレフ・ワン ℵ1, 次はアレフ・ツー ℵ2 と以下同様に続く。このように続けて、すべての順序数 α に対して以下に述べられるように一般のアレフ数となる濃度 ℵα を定義することができる。

ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる[1]。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。
可算順序数を超えて、最小の非可算順序数 ω1 は、これもまた極限順序数となる。同様に推し進めれば、以下のような系列（以下の列では項を追うごとに濃度も増大する）:
ω2,ω3,…,ωω,ωω+1,…,ωωω,…
が得られる。