つづき

さて >>652より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

ここで、まず 集合族 A-{aξ：ξ<α} に 注目しよう （ なお A-{aξ：ξ<α} ⊂ A も注意しておく）
これは、上記 1.7. Axiom Schema of Replacementで class F function, exists α set Y=F(X)={F(x):x∈X}.
における F(X)のネタを仕込んでいると思え

そして、次に the family S of all nonempty subsets of A の部分に注目すると
Aのべき集合P(A)から空集合Φを覗いた P(A)-Φ の要素が、the family Sってことだね
さらに、A-{aξ：ξ<α} ∈ P(A)-Φ だね

ここから Axiom Schema of Replacementの class F function を使って P(A)-Φの部分集合として
集合族 A-{aξ：ξ<α} を要素とする 部分集合を構成できる
{A,A-{a1},A-{a2},・・・}だね

ここで、Axiom Schema of Replacementの class F function を使っていることを念押ししておく
これが、選択関数と異なることは、”Y=F(X)={F(x):x∈X”とあって、F(X)の定義域は ただ一つ Xから分かる(いまの場合 X＝P(A)-Φ)

さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて
０：A-Φ → a0
１：A-{a0} → a1
２：A-{a1} → a2
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のように A-{aξ：ξ<α} が空集合になるまで続ける
一見 集合族の構成が （選択公理による）循環論法に見えるが、順序数による 超限再帰（あるいは超限帰納）を認めればよい
（また そもそも、集合族 A-{aξ：ξ<α} を P(A)-Φ から取り出すところは、 置換公理関数で ”Y=F(X)={F(x):x∈X”の定義域は、 ただ一つ X＝P(A)-Φであるから 選択関数とは全く異なることは見易い）
上記の 選択関数による aα たちの構成は、選択公理により 許される■
以上