ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/
前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね
では、再度>>666-667の説明を 補足しよう

　>>667より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

１）これで、キモは aα=f(A-{aξ：ξ<α}) だ
　f 選択関数、A-{aξ：ξ<α} が、定義域（入力）の集合族で 順序数の添え字が α
　値域（出力）が aαで、Aの要素a∈Aに、順序数の添え字 α がついて aα となっている
２）そうすると、定義域（入力）の集合族 A-{aξ：ξ<α} が、どうやって出来たのか？
　それが、問題となる
　Jechは、”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”と記す
　以下、くだけた表現を使う
　繰り返しになるが 集合Aのべき集合P(A) （Aの任意部分集合）は、空集合を含む
　そこで、空集合を除いたものを P(A) -Φ と書く（これは定義です。Φは空集合）
　そして、P(A) -Φ を再度 P'と略記しよう
３）上記の Jech証明と照らすと、A-{aξ：ξ<α} ∈ P' である
　なので、P' から A-{aξ：ξ<α} を要素として取り出して 部分集合 を 形成することを考えると
４）やっていることは、P' から まず Aを取る
　次に Aから一つ要素が減った A-{a0} を取り
　さらに、二つ要素が減った A-{a0,a1} を取り・・と続ける
５）Jech 流の表記では、A-{aξ：ξ<α}となる
　こうして、P'の部分集合 として 集合族の A-{aξ：ξ<α}が取り出せて
　aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり f：A-{aξ：ξ<α} → aαができる
　この関数は、選択公理で許される 選択関数である
　P'の部分集合 として 集合族 A-{aξ：ξ<α} を取り出すところは、置換公理が使える(>>667)
　また、順序数の添え字 α による 超限帰納（or 超限再帰）も使える
６）さらに付言しておくと、集合Aから最初に どの要素を取り出して、次に どの要素を取り出して ・・・
　と続けることを考えると、集合Aの並びは 大きな自由度があり、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は P' 全体に広がる可能性がある
　つまり、いま A={a,b,c,d}と４つの要素からなるとすると
　最初の文字は4通り、次は3通り・・ となり 全体で4！通りになる（要素 有限nなら n！通りになる）

つづく

つづき

で、まとめると、P' にそのまま 選択関数を適用しても、
直ちには aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は出ない
上記のように A-{aξ：ξ<α} からなる 集合族を 部分集合として P' から切り出して
その 順序数で添え字付けされた 集合族からの 選択関数の出力として、
順序数で添え字付けされた aα を出すべし
この 添え字順序数α による 順序が、整列順序で、 集合Aの要素の全部に渡り、集合Aに 整列順序が入る

”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
は、ヒントでしょ？ 数学科生なら、この１行のヒントで ”aα=f(A-{aξ：ξ<α})”の構成を悟れ！ ということ■
以上