>>764-770
>「Aから一つずつ Aの要素を取り出して」のところ
>ここで、Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要

選択関数と 普通の関数の区別分かっている？

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set.
Formally, this may be expressed as follows:
∀X[Φ not∈ X⟹∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A) ]

ここは式が複雑なので原文を見るのが良いが、”f(A)∈A”が一番の要点、つまり 集合族の全てのAに対して f(A)=a ∈A が成立しているということ
f(A) が、選択関数で fが選択関数だ
f(Ai)のようにAに添え字iを付けた方が分かり易い （iは可算(自然数など)とは限らないが）
”∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)”なので
f；X→Ai→ai∈Ai のように、→が2段になっている（なので{ai}は、Xの部分集合ではない）

下記の 尾畑研 f：R→R では、y=f(x)でx→y もっと書けば、順序対(x,y) で
"公理論的集合論と写像" の如く、"直積集合の部分集合X x Y"だという

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-4_shazo.pdf
尾畑研 東北大 2018
第4章写像
公理論的集合論の立場では、考える対象はすべて集合であるから写像もまた集合として導入される
直積集合の部分集合X x Yで定理4.1 (ii)に述べた性質をもつものを写像の定義とする
必要に応じて対応としての写像f：X→Yを導入すればよい

これを踏まえて >>763 Thomas Jech
To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence (aα:α<θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A■

ここで、Sが我々の考えているP'=P(A)-{Φ}だとして
集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で
A-{aξ：ξ<α} を 下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
（明らかに、集合Aと同じ濃度）
だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える）

さらに、下記の包含関係が成立している
A⊃A-{a0}⊃A-{a0,a1}⊃A-{a0,a1,a2}⊃・・⊃A-{aξ：ξ<α}⊃・・

だから、順序数の添え字付けも、この点からも首肯できる
その上で、Jech氏証明の 選択関数 f：A-{aξ：ξ<α} → aα
この関数は、A-{aξ：ξ<α} が集合族で定義域で
関数値の aαは、上記 包含関係の列の 前後の項の差分 だと思えば良い