ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/
前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく

>>801
「Aから元をどうやって取り出すのか？」にあなたは「Jechの証明で終わっている」と答えた。
その証明に「using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A」と書かれている。
はい、詰みです。

>>807
間違いを認められないおサルさんがなんか喚いてますが、まったくナンセンスですよ
>>809で詰んでますから

>>808 補足
>if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
>That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).

ここ
”leave aα undefined if it is. ”は、
A∖{aξ∣ξ<α} が empty のときは
関数”aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})”が
undefinedで良いってことだね（ちょっと 分かり難いが）

そして、次の行で補足している（”That is”だね）
”or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated”
だが、この意味は
集合Aの整列が完成すれば、あとの選択関数は”undefined”だってこと！

つまりは、選択関数は Aの整列までで 十分なのです！！ ；ｐ）

>>807
>>集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って
>>書いてあるかな？
>話は逆だよ。
>Akihiko Koga氏の選択公理→整列可能定理の証明で
>集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要
>って 聞いたんだよ

Akihiko Koga氏の証明では
集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数を使っている
日本語、読めないのかい？　二ホン●ル

>>811
まあ、数学の常識があれば
すぐ分かることだが
数学の常識の無い人は、迷走する典型だなｗ ；ｐ）

>>813
工学部卒の君に大学数学の常識なんか全然ないけどな

aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
だから　選択関数fなしには何もできません

>>811
> 選択関数は Aの整列までで 十分なのです！！
　君、関数の定義知ってる？ 君の関数理解　間違ってるよ

「個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数」
　そしてその独立変数の範囲は「Aの空でない部分集合全体」
　決して「A∖{aξ∣ξ<α}の全体」ではない
　なぜならA∖{aξ∣ξ<α}のaξで選択関数使ってるから循環してしまう
　整列と集合族の濃度の同一性なんて馬鹿な連想ゲームは不要

選択関数の定義域の中には、整列の構成に用いない要素が山ほどある
だから、何？　見当違いな「効率化」は間違いの元

◆yH25M02vWFhPが大学1年の微分積分と線型代数で落ちこぼれたのは
論理が分かっておらず、数学書に書かれてる証明が読めないから

まず、見当違いな連想ゲームをやめて、論理を理解しよう

>>811
define an element aα that is in A by setting aα=f(A-{aξ|ξ<α}) if this complement A-{aξ|ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。
選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？


>つまりは、選択関数は Aの整列までで 十分なのです！！ ；ｐ）
独善妄想。
using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A　の通り、選択関数の定義域はP(A)-{{}}。

君、もう詰んでるよ。詰んだら投了しないと人と認めてもらえないよ。サル扱いされるよ。それでいいの？

>>813
>まあ、数学の常識があれば
>すぐ分かることだが
>数学の常識の無い人は、迷走する典型だなｗ ；ｐ）
と、畜生界を迷走するサルが申しております。人間界に来たければ詰みを認めて投了しよう。

選択公理は　マセマのキャンパス・ゼミじゃ書いてない
手を動かしてまなぶシリーズには書いてあるっぽいが

>>812
>Akihiko Koga氏の証明では
>集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数を使っている

下記だね。見た
これ、>>807-808の Jech, Thomas の証明と類似だね

Jech, Thomas では、”we can do by induction”（超限帰納）と、
”it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A”
という 順序数αによる添え字付け手法を使っているんだ

で、君は ある証明で ある手法が使われていることをもって
証明には、その手法が”必須”だと主張する

しかし、ある手法が使われていることから、”必須”は言えない
なお、下記の Akihiko Koga の記載は参考になるね（自分の数学認識をクリアにするために）。それは認める

(参考)
www.cs-study.com/koga/set/pointsOfSetTheory.html#WellOrder04
集合論の学習での重要なポイント
Some Important Topics in Basic Set Theory
by Akihiko Koga
10th Sep. 2018 (Update)

選択公理からの直接の証明
[前置き]
まず，選択公理を使って，A 以外の P(A) の集合，すなわち A の真部分集合 X ⊂ A に対して，X 以外の元を 選ぶ関数 f
f : P(A) - {A} → A
f(X) ∈ A - X
を一つ決めておく．

図略す

実は，この関数を決めた段階で．A の上に一つの整列順序がすでに決まっているのである． それは，X が整列されたとしたら，その後ろに f(X) を置くという順序である．

図略す

もし，X を整列した部分に最後の元 y があれば，f(X) はその直後の元であり，y は f(X) の直前の元である．また，もし，X を整列した部分に最後の元が無い場合， つまり，... と無限に続く場合は，f(X) の直前の元はない．どちらにしても， f を決めた段階で，このように A の整列順序が１つ定まるはずである．
整列可能定理の証明は，この直観が正しいことを丁寧に示していくことになる．
[前置き終わり]

以下，上の直観的な議論を実際に証明に落としていく．

[Proof of 選択公理から整列可能定理]
任意の集合 A に整列順序を入れることができることを証明する．

実は，この証明は次の節の Zorn の補題の証明を焼き直した ものである．
略す

>>816
おサルさんは関数から分かってないね。

おサルさんよ
https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/sakai0.pdf
の13ページを見てごらん。これが分からなきゃ数学は無理なので諦めな。

>>820
>Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。
>選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？

関数とは、対応です（現代数学では）
対応の相手が、未定義ならば
その部分は、関数として未定義だよ

>>817
おサルさんは「循環」がどうしても理解できないようだね。
そこが人間の知性を持たないサルの限界。

Koga氏の証明の元はおそらくブルバキ数学原論
なぜ、そういいきれるかといえば、
実際にブルバキ数学原論を確認したから

>>823
> 君は ある証明で ある手法が使われていることをもって
> 証明には、その手法が”必須”だと主張する
> しかし、ある手法が使われていることから、”必須”は言えない
　必須なんて誰もいってないけどな
　証明で、用いてる、といってるだけだが
　君、幻聴が聞こえるの？

>>826 補足
>Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。
>選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？

だから
必要な部分
”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
ここだけ つまみ食いして良いんだよ

美味しいところだけ、つまみ食い
そうすれば、選択関数の節約になるよ
集合Aの濃度の範囲の選択関数に節約できるってことよ

>>826
> 関数とは、対応です（現代数学では）
　そこ、誰も否定してないけど

　で、P(A)-{φ}の要素のうち、A-{aξ|ξ<α}として現れないものは
　選択関数の定義域から削っていい、というのはどういう理屈？

　君が勝手にそう思い込んでるだけだろ？

>>830
> だから　必要な部分
> ”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
> ここだけ つまみ食いして良いんだよ
　素人の馬鹿判断
> 美味しいところだけ、つまみ食い
> そうすれば、選択関数の節約になるよ
> 集合Aの濃度の範囲の選択関数に節約できるってことよ
　素人の馬鹿判断

>>830 補足
(引用開始)
必要な部分
”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
ここだけ つまみ食いして良いんだよ
美味しいところだけ、つまみ食い
そうすれば、選択関数の節約になるよ
集合Aの濃度の範囲の選択関数に節約できるってことよ
(引用終り)

つまみ食いするメリットは
可算集合Aに対して
Jech, Thomas の証明を ちょっと変えるだけで
従属選択公理で、可算集合Aの整列が言える
順序数αは、可算の範囲（ωを超えるとしても）で済むのだから

つまみ食いとか節約とか
しなくていいことをするから自爆する

下手な考え休むに似たり

>>826
これは酷い。

対応の相手は定義されている。
なぜなら選択公理が選択関数f:P(A)-{{}}→Aの存在を保証しており、存在例化によりfは一意に定まるから。
尚、定義域がP(A)-{{}}であることは
a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A
の通り。

なにひとつ理解していないおサルさんでしたとさ

>>833
>つまみ食いするメリットは
>可算集合Aに対して
>Jech, Thomas の証明を ちょっと変えるだけで
>従属選択公理で、可算集合Aの整列が言える
>順序数αは、可算の範囲（ωを超えるとしても）で済むのだから

DCじゃダメだね
DCo(oは可算順序数)にしないと

>>823
じゃ選択関数f:P(A)-{{}}→Aを使ってない整列定理の証明を示して

できないことを言うもんじゃないよおサルさん

考え無しに連想ゲームの結果を口に出し
それが見当違いだと指摘されても
自分の誤りを認めたくないあまり
ああだこうだと正当化する

自惚れ無能ほど見苦しいものはない

>>833 補足
(引用開始)
必要な部分
”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
(引用終り)

選択関数 aα=f(A-{aξ|ξ<α})
の構成を 二つのステップに分ければいい

1st ステップ
定義域 {A-{aξ|ξ<α}｜α < θ} を構成する部分
ここは、the family S of all nonempty subsets of Aの部分集合になる
だから、置換公理で間に合う

2nd ステップ
f；A-{aξ|ξ<α} → aα
これで選択関数が構成できた
（Aが可算ならば、従属選択公理で間に合う）

>>830
>必要な部分
>”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
>ここだけ つまみ食いして良いんだよ
つまみ食いも何も、そもそもそれ、aαの定義であってfの定義ではない。

fの定義は
a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A
で尽きている。
allって書かれてるがなｗ　どこにも必要な部分なんて書かれてないぞ、おサルさん

自分で生み出した妄想に捕えられ身動きできないおサルさん、解放されて自由になるには人の話を聞く耳持つしかないよ

>>830
define an element aα that is in A by setting aα=f(A-{aξ|ξ<α}) if this complement A-{aξ|ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。

define の目的語は何？　an element aα では？　ならこの文はaαの定義であってfの定義じゃないじゃん

ここまで言わんとダメなん？　おサルさん中学校からやり直せば？

>>833
>つまみ食いするメリットは
つまみ食いできるは妄想だからナンセンス

屁理屈こねる前に中学英語を学習しよう　君、他動詞の目的語が分かってないよ

>>833
>従属選択公理で、可算集合Aの整列が言える
可算集合Aの整列に選択公理（いかなる亜種も含め）は不要。
最小の極限順序数ωとの全単射φ:ω→Aが順序同型写像となるような順序(A,<)を構成できるから。

>>839
>1st ステップ
>定義域 {A-{aξ|ξ<α}｜α < θ} を構成する部分
>ここは、the family S of all nonempty subsets of Aの部分集合になる
>だから、置換公理で間に合う
aξの定義にfを使っている。

>2nd ステップ
>f；A-{aξ|ξ<α} → aα
fの定義にaξを使っており、aξの定義にfを使っているから循環参照となっており、fはwell-definedでない。

>これで選択関数が構成できた
できてません

>（Aが可算ならば、従属選択公理で間に合う）
誤解にもとづく妄想です

以上、畜生界を彷徨い続けるおサルさんでした

おサルさん
まだ投稿するならその前に他者のレスを全部読んで消化してね
言葉が通じないサルは人間扱いされないよ

1st　ステップ
Aの空でない部分集合からその要素への選択関数fを定義する

2nd　ステップ
上述のfを用いて順序数からAの要素への関数aを超限帰納法により定義する

fが先、aが後　
fなしにaは定義すらできない

まあおサルさんは大学数学の前に中学英語からやり直した方が良い
define an element aα・・・がfを定義する文と誤読してるようじゃ話にならない

　>>776より
Thomas Jechの 証明 再録（>>667より）
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で
A-{aξ：ξ<α} を 下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
（明らかに、集合Aと同じ濃度）
だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は この段階では不要（置換公理が使える）

さらに、下記の包含関係が成立している
A⊃A-{a0}⊃A-{a0,a1}⊃A-{a0,a1,a2}⊃・・⊃A-{aξ：ξ<α}⊃・・
（要するに、Aから一つずつ減らす一つの全順序チェーンが、Sの部分集合として 取り出せたってこと。transfinite induction ）

だから、集合族A-{aξ：ξ<α}に対する 順序数の添え字付けは、この点からも首肯できる
この集合族に 選択関数を適用する

Jech氏証明の 選択関数 f：A-{aξ：ξ<α} → aα
この関数については、A-{aξ：ξ<α} が 集合族で定義域である
対応する関数値の aαは、上記 包含関係の列の 前後の項の差分 になっている■

aα=f(A-{aξ：ξ<α})

選択関数fなしに順序数からAの要素への関数aは定義不能

六甲山の●ルこと◆yH25M02vWFhPは
微積、線型代数に続き集合論でも●んだ

★　A→a0
※　A,a0→A-{a0}　
★　A-{a0}→a1
※　A-{a0},a1→A-{a0,a1}
★　A-{a0,a1}→a2
※　A-{a0,a1},a2→A-{a0,a1,a2}
・・・

★の箇所が選択関数
※は単に要素を１つ抜いてるだけ

馬鹿は★のところでその都度、好き勝手に要素を決めると誤解するだろうが
実際はAの任意の空でない集合に対してその要素をとる選択関数を一挙に決める

だから、適用前に選択関数の定義域の制限なんてできない

>>848
>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
>（明らかに、集合Aと同じ濃度）
>だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は この段階では不要
a0ってなに？

>>850
>馬鹿は★のところでその都度、好き勝手に要素を決めると誤解するだろうが
それは不可だね。Aが有限集合でない限り。
だから選択公理が要る。

要するにおサルさんは選択公理を無意識に自明なものとみなしてしまっている。
おサルさんはカントールがそうしていたことをしばしば口にするが、実はおサルさん自身だったｗ

>Aから一つずつ Aの要素を取り出して 集合族A-{aξ：ξ<α}を作る（>>760）
が
>要するにおサルさんは選択公理を無意識に自明なものとみなしてしまっている。（>>852）
の証拠。
なぜならAが無限集合のとき選択関数fが定義済みでない限りそのような取り出しは不可能だから。

>>848 補足

ここで、選択公理のパワーを、従属選択公理DCに落としたときの問題点は
集合Aの（可算）濃度割当とか、順序数との対応付けで
この点については、下記の 壱大整域 alg-d氏が参考になる
下記PDF 資料では、選択公理を使うとあるが
しかし、スコットのトリック(英: Scott's trick)があって
ZFC内で 選択公理なしで 正則性公理による方法がある

なお、さらに付言すると
集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S を 下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
だが

こいつは属人性があって
例えば Bさんの集合族と選択関数は a→a' (a≠a')でも良い
つまり
{A,A-{a'0},A-{a'0,a'1},A-{a'0,a'1,a'2},・・,A-{a'ξ：ξ<α},・・} とできる

また別のCさんが a→a'' (a≠a'')で
{A,A-{a''0},A-{a''0,a''1},A-{a''0,a''1,a''2},・・,A-{a''ξ：ξ<α},・・} とできる
各人勝手気ままだ

上記の集合族以外のSの要素は、もっと気ままで
どう決めようが、集合族
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
とは、何の関係もない！ｗ ■

(参考)
alg-d.com/math/ac/
壱大整域
選択公理
★お知らせ★　このページの内容が紙の本になりました。アマゾンで購入できます
（URLは通らないので略 アマゾン 選択公理: 同値な命題とその証明 ペーパーバック – 2021/11/30
alg-d (著) 出版社 ‏ : ‎ Independently published (2021/11/30) ）

alg-d.com/math/ac/tsudoi3.pdf
第三回関西すうがく徒のつどい
数学の諸定理と選択公理の関係 alg d 2013

2 濃度選択公理がないとまずヤバイのが濃度に関する話題で，まずはその辺りを見ていきます．

4 弱い選択公理

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF
スコットのトリックとは真クラス上の同値関係についての同値類の定義を、累積的階層のレベルを参照することによって与える方法である
この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]。この方法は Dana Scott (1955) によって導入された。
順序数の代表元を集合として定義する問題を超えて、スコットのトリックは基数の代表元を得たり、もっと一般的な同型類（英語版）にも用いることができる。例えば、全順序集合の順序型はその一例である

en.wikipedia.org/wiki/Scott%27s_trick
Scott's trick
The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice. It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955).
Beyond the problem of defining set representatives for ordinal numbers, Scott's trick can be used to obtain representatives for cardinal numbers and more generally for isomorphism types, for example, order types of linearly ordered sets (Jech 2003:65).
略す

>>854
思考できない馬鹿●ルは黙れよ

>>854
>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
>こいつは属人性があって
まったくトンチンカン。
なぜなら選択関数は存在さえすればよく、定義域のどの元の写像先も任意でよいから。
そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。

君、脳みそ持ってないの？　使わないと持ってる意味無いよ

選択関数の属人性とか言う馬鹿はじめて見たｗ
世の中広いねえ　こんな馬鹿もいるんだね

>>856-857
>なぜなら選択関数は存在さえすればよく、定義域のどの元の写像先も任意でよいから。

”選択関数は存在さえすればよく、定義域のどの元の写像先も任意でよい”
は正しい！
だ か ら、{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
は属人性があってよい
というか、そもそも一意ではない！！

>そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。

それ、君の勘違いだよ
箱入り無数目でも、議論が噛み合わなかったがね ；ｐ）
（多分、御大も 同じ意見と思うけどね）

そもそも、公理というものは、公理の適用条件に合致すれば
必要か不必要かに関わらず、適用してよい
（不要なのに、適用したときは、牛刀でニワトリを割くにはなるけどね）

そうして おかなければ、選択公理を用いて ある定理を証明したときに
その定理の適用のために、選択公理を使って良いか 使わないかの場合分けが必要になるよ。それってバカでしょ？ｗ ；ｐ）

>選択関数の属人性とか言う馬鹿はじめて見たｗ

選択関数は、抽象的だ
抽象的だから、いろんな場面で使える
しかし、ある場面で 選択関数を具体化しては いけない ということはない
選択関数を具体化できる場面があっても、それは可だ

>>858 補足

例えば、最初は”ぐー”で ｗ ；ｐ）
ある無限集合Aに対して、
先頭有限n個の要素 a0,a1,・・,an-1 個を 取り出して並べる
その後ろに、残りの A-{a0,a1,・・,an-1}について 整列可能定理を適用した列を並べる
そうすると、先頭有限n個の要素は、自由だ！ｗ

別に、非可算の実数Rの整列において
まず、自然数を並べる 0,1,2,・・・
次に、負の整数 -1,-2,-3,・・・を
次に、上記以外の有理数 1/2,1/3,・・・を（適当に）
次に、上記以外の代数的数をならべる
次に、好きな超越数 πとかeとか を並べる
次に、残った実数に対して、整列可能定理を適用して 整列させる
全てを 直列につなぐ

すなわち、非可算の実数Rの先頭の 可算部分は、自由度がある
整列可能定理があれば、残りの部分が 整列可能定理で並べられるよ

要するに、整列可能定理の本質は公理だから、
具体的であっても、抽象的であっても
なんでもありです！！ｗｗｗ ；ｐ）

>>858
>>そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。
>それ、君の勘違いだよ
じゃ反例示して
君の屁理屈は不要

>>858
>しかし、ある場面で 選択関数を具体化しては いけない ということはない
選択関数を具体的に構成できるなら選択公理不要。

君、選択公理もぜんぜん分かってないんだね。
だからaαを使って選択関数fを定義するとかアホなこと言って失笑されちゃうんだよ。

おサルさん、なんで>>851から逃げるの？

馬鹿であることがバレるのが恐いから？　大丈夫だよ　もうとっくにバレてるから

>>860-861
>>>そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。
>>それ、君の勘違いだよ
>じゃ反例示して

はっ？
なに言ってるの？
公理でしょ？
大は小を兼ねるだ
整列可能定理：
簡単に言えば、任意集合Aから、一つずつ要素を取り出して整列することができるってこと

で、任意集合Aとして、自然数Nに適用して良い
勿論、我々は 自然数Nのように素性の分っている集合は
ある規則で整列出来ることは知っている
しかし、勝手気まま 気の向くままに 自然数Nから 一つずつ要素を取り出して整列させることができるか？
それが、可能かどうか？
『可能』というのが、整列可能定理で、選択公理と同値だね

>>しかし、ある場面で 選択関数を具体化しては いけない ということはない
>選択関数を具体的に構成できるなら選択公理不要。
>君、選択公理もぜんぜん分かってないんだね。

はっ？
なに言ってるの？
不要と禁止は違うよ
選択公理：
空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる
（あるいは『どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができる』） ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86

ここで、”空集合を要素に持たない任意の集合族”だから、この集合族が もし有限個の集合族であっても構わない
任意有限n個の集合族ならば、1個の集合から一つ選ぶことをn回繰り返せば良いから、選択公理は不要
選択公理は不要だが、有限族への適用は禁止ではない

>>861
>おサルさん、なんで>>851から逃げるの？

？ >>851か？
(引用開始)
>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
>（明らかに、集合Aと同じ濃度）
>だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は この段階では不要
a0ってなに？
(引用終り)

　>>859に書いた通りだよ、再録すると
例えば、最初は”ぐー”で ｗ ；ｐ）
ある無限集合Aに対して、
先頭有限n個の要素 a0,a1,・・,an-1 個を 取り出して並べる
その後ろに、残りの A-{a0,a1,・・,an-1}について 整列可能定理を適用した列を並べる
そうすると、先頭有限n個の要素は、自由だ！ｗ
(引用終り)

まあ、a0は 任意のAの要素
もっと言えば、自分の好きな 任意のAの要素として a0を取って良い
例えば、実数Rを整列させるとき
ある人は、円周率πが好きで、先頭はπとして良いし
ある人は、サッカーが好きで、自然数 11（番）を最初にするとかね

で、ZFCには ルールがあって 直接πや 11を選ぶのではなく
一旦、A-{π}やA-{11}という Aから一つ要素の減った部分集合の族を作る
そうやって、以下2番目に好き、3番目に好き とやって
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
という集合族を作る
これが、”the family S of all nonempty subsets of A”>>848の
Sの部分集合だ （familyは、訳すと”族”だ）

S⊃{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
ZFCのルールでは、部分集合を作るための公理がある
分出公理：分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの
ϕ に1つずつ公理が対応するため、これは公理図式である）ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
分出公理の上位互換が、置換公理だね

この集合族 {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
に、選択公理を適用する
選択公理は、公理の常だが あらゆる場面に適用できるように 抽象的表現になっている
しかし、具体的であることを妨げない
ｆ：A-{aξ：ξ<α} → aα とする
ってこと >>848の Thomas Jechの 証明の通りです■

>>864
>その後ろに、残りの A-{a0,a1,・・,an-1}について 整列可能定理を適用した列を並べる
整列可能定理を使って整列可能定理を証明すると？
あなた馬鹿なんですか？

[Zornの補題]空でない順序集合A内で全ての鎖が上に有界であれば、Aは少なくとも一つの極大元を含む。
[定理]選択公理⇒Zornの補題
[証明]
選択公理により選択関数f:P(A)-{{}}→Aが存在する。
すべての順序数αに対し、{x∈A|xは{aξ|ξ<α}の外部上界} が空でないならAの元aαを aα=f({x∈A|xは{aξ|ξ<α}の外部上界}) で定義せよ、あるいは空であるならaαを未定義のままとせよ。
その時、C:={aα|aαは定義されている}は外部上界を持たず、またCはAの鎖であるから仮定によりCは少なくとも一つの上界を持つ。よってCは内部に唯一の上界supCを持ち、supCはCの極大元である。

[補足]
Zornの補題は「A内の全ての鎖が上に有界」という条件がある。
仮にこの条件が無い場合、C:={aα|aαは定義されている}は内部上界を持つとは言えない。
例えば、αが任意の自然数の時その時に限りaαが定義されている場合、Cは内部上界を持たない。実際内部上界an∈Cを持つとするとan<a(n+1)∈Cだから矛盾。

>>863
>はっ？
>なに言ってるの？
反例の意味を理解してね。
この場合の反例とは「選択関数を構成できず、かつ、選択関数の写像先が問題になるような命題」のことだよ。
はい、逃げずに示してね。

>はっ？
>なに言ってるの？
選択関数を具体的に構成できるなら選択公理は不要と言っている。
理解できない君が馬鹿なだけ。

>この場合の反例とは「選択関数を構成できず、かつ、選択関数の写像先が問題になるような命題」のことだよ。
ちなみに箱入り無数目も整列定理もZornの補題も選択関数の写像先は任意でよいので反例にはなりません。
早く反例示してね。

>>857
選択関数は確かに１つではないが、
それはどこぞの●ルの
「選択関数削ってOK」
という主張の正当性を裏付けるものではない

●ルは六甲山に帰れ

>>858
>（多分、御大も 同じ意見と思うけどね）
　結局、御大の権威にすがる●ル

　典型的な社奴のヒエラルキー能
　どんだけ会社に飼いならされてんだ

>>859
>(前略)

●ルは、Jechの証明における選択公理の使用が全く理解できませんでしたとさ

Ａのいかなる空でない部分集合についても
「この集合では、この要素を選ぶ」
という対応の一覧が存在すれば、それで第一段階ＯＫ

あとはＡから順序数の順にそって取り出すときに
上記の対応に基づいて取り出せばいい　それが第二段階

選択公理は第一段階の話
第二段階は選択公理と無関係

●ルは、どうやら第二段階を先に考え
各々の取り出しの回数制限が、
●●選択公理の●●であらわされる制限
だと思ってるらしい

んなこたぁない
公理のステートメントの文章が読める奴は
そんな初歩的な誤り犯さない

文章読めない奴が勝手に想像してドツボにハマる
連想ゲーム、憶測ゲームから卒業しないと
大学数学は理解できないよ

>>861
> aαを使って選択関数fを定義するとかアホなこと言って失笑されちゃう
　そもそも関数が分かってないんだろうな　●ルは

　「使おうが使うまいが、あらかじめ対応の全てを用意する」ということが想像できない
　ヒトとして致命的な欠陥だな　●ルとしては問題ないんだろうけど

>>863
> 選択公理：
> 空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、
> 各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる
>（あるいは『どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、
> それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができる』）

その通り

問題は選択公理を全く使用せずに
集合族　A-{aξ：ξ<α}
を定義できるか？

そしてその回答は不可
なぜなら　aξ=f(A-{aψ：ψ<ξ})　であって
選択関数f　を　思いっきり用いてるから

●ルのやってることは、
「選択公理に適用する集合族を構成するのに
　選択公理によって得られる選択関数を使う」
という循環論法

>>864
>ｆ：A-{aξ：ξ<α} → aα とするってこと

●ルは文章が正しく読めないｗ

ｆ：P(A)-{Φ}→A　f(x)∈x

これが全て


で、A-{aξ：ξ<α}∈P(A)-{Φ}であるとき
xにA-{aξ：ξ<α}を入れた場合のf(x)（∈x）をaαとする
というだけのこと

別にA-{aξ：ξ<α}の全体を定義域とする、なんてことは
誰もいってないしいう必要もない

●ルは
「可算整列定理は可算選択公理で十分」
なんてまったく思索ゼロの連想ゲーム発言をしてしまい
それは誤りだと認めたくないから屁理屈こいてるだけ

こっちは●ルが論理分かってないって分かってるから
「なに●ルが人間面してんだ？　自分の顔、鏡で見ろ」
と思ってるだけ

●ルは自分が数学を理解するだけの能力があると思い込んでるようだが
残念ながらそれは嘘である

彼はいまだに大学１年の４月の挫折の原因を正しく認識できておらず
したがって壁を乗り越えることができない

欠陥（論理に対する無理解）を認識し
これを乗り越える努力（具体的には論理の理解）を行わない限り
どれほど数学書をチラ見流し見したところで何も理解できないだろう

論理を理解することがチラとか流しとかいう残念な状態からの脱却

１０００回繰り返しても足りないようだ

>>877　論理が分かってないならね

「度し難し」と言い捨てて去れないのはなぜ？

>>879
教育のし甲斐があるから

手ごたえを感じているなら構わないが

>>879
愚問
去りたい君が去れば良いだけ

単なる通りすがりの素朴な疑問だが
異様さを感じたので言ってみただけ
べつに居つきたいわけではない

じゃ去れ

そう言われると居つきたくなる

>>881
診断が当たってる手ごたえは思いっきり感じる
治療がすすんでる手ごたえは全く感じないが

>>885
君は、選択公理からの整列定理の証明、理解できたの？

>>883
>異様さを感じた

うん、◆yH25M02vWFhPの
「現代数学の系譜 雑談」とかいうHN
膨大な量のコピペ
そして初歩レベルでトンチンカンな発言
すべてが異様だね

数学板の○大奇人の一人だね

>>887
そういう余計なお世話が異様

選択公理やら整列定理やらに興味無いのにここに居座るのが異様

>選択公理やら整列定理やらに興味無いのにここに居座るのが異様
選択公理やら整列定理は非常に重要だと思っているので
それをおちょくりの材料に使うのが見過ごせない

>選択公理やら整列定理は非常に重要だと思っているので
ならそれらについて嘘八百吐き放題の輩になんで何も言わないの？

>>892
それはコスパまたはタイパの問題

じゃなんてここに居るの？コスパ最悪やろ

君にとって何が有効な時間の使い方かに
興味がある

うわっきもっこいつ
他人より自分の時間の使い方考えたら？

>>891
証明を正しく理解できないくせに
ペラペラしゃべりたがる奴のほうが
よっぽど数学をおちょくってる

おまえ、頭オカシイの？

＞コスパまたはタイパ
　小賢しいだけの大馬鹿が大好きな言葉

　学問は壮大な無駄の山上に立つ実に小さな金字塔

O澤TK夫とかいう奴は
OK同様に頭オカシイ

OKのどんな逸話を聞いても
数学は人を賢くせず
愚かしさを悪化させる
最悪の麻薬だと思う

どんな数学者も自分の愚かしさによる失敗を
容易に受け入れることができないが
そうしたところで○違いといわれるだけである

[定理]Zornの補題⇒選択公理
[証明]
Sを空でない集合の空でない族とする。
∀s∈Sに対して、∀x,y∈s.x≦y⇔x=y により(s,≦)を定義する。
この時、∀s∈Sに対して、{c|cはsの鎖}={{x}|x∈s} が成り立ち、∀x∈s.xは{x}の上界 であるから、sの全ての鎖は上に有界である。
よってZornの補題より∀s∈Sについてsは少なくとも一つの極大元を持つ。そのうちの一つをmsとする（存在例化）。
よって選択関数f:S→∪[s∈S]s を f(s)=ms で定義できる。

>>901はちょっと保留　なんかおかしい　考え中

>>901は証明になってなかった。
任意のs∈Sについて存在例化を適用できるからといって、Sの無限個の元すべてに適用できるとは言えない。それができるならそもそも選択公理は自明。

粗大ごみ教授は論文書くと昂奮して一時間50レス、1日200レスする

OK＝岡潔？

OK=oll korrect

>>877
ID:BnEwySZf は、御大か

＞１０００回繰り返しても足りないようだ

なるほど、下記
いつもお世話になっている
alg-d 壱大整域氏
選択公理→ (整列可能定理)

これ分かり易いかも
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”で
　順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
なる g を 導入しているんだ
で、写像 g の全単射を 言う
なるほどね

そうすると、置換公理を使う証明は、無理筋かも
循環論法になる恐れがある、多分 （不可能の証明は 難しいので いまは深入りしないことに）

(参考)（蛇足だが P(X)は、Xの冪集合。なお。原サイトの方が見やすいよ）
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題

定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)

証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．
順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る．
選択公理を A := P(X)＼{ ∅ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
Xに含まれない元 ∞ ∉ X を用意して，f( ∅ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．
写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
で定義する．

α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
∵β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．即ち g(α) ∉ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．

よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．
これは ¬|λ|≦|X| に矛盾する．故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．
そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ: γ→X は全単射である．
∵∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = ∅，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．

よってこれによりXを整列する事ができる．

(2 ⇒ 3)略す

(3 ⇒ 1)略す

おまけ
(2⇒1)略す

>>907
>選択公理を A := P(X)-{φ} に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
ほらみろ、fの定義域はP(X)-{φ}じゃん

>写像 g:λ→X∪{∞} を
>g(α ) := f( X-{g(β)|β<α} )
>で定義する．
ほらみろ、ここでfの定義なんてしてないじゃん
当たり前だよね、fを使って定義されたgを使ってfを定義したら循環になるんだから

>これ分かり易いかも
分かってないの君だけ