つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
可算選択公理
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
従属選択公理
→詳細は「従属選択公理」を参照

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice（ACω） 可算選択公理
Applications
For instance, in order to prove that every accumulation point
x of a set
S⊆R is the limit of some sequence of elements of
S∖{x}, one needs (a weak form of) the axiom of countable choice.
When formulated for accumulation points of arbitrary metric spaces, the statement becomes equivalent to ACω.
Relation to other axioms
Weaker systems
Paul Cohen showed that ACω is not provable in Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) without the axiom of choice.[6]
Equivalent forms

fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理

Par exemple, afin de prouver que tout point d'accumulation x d'un ensemble S⊆R est la limite d'une suite d'éléments de S\{x}, on a besoin (d'une forme faible) de l'axiome du choix dénombrable. Lorsqu'il est formulé pour les points d'accumulation d'espaces métriques arbitraires, l'énoncé devient équivalent à ACω3.
（google訳）
たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。

誤解
一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。

There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R -. R is continuous i. it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X -. R with
metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.

つづく