>>848 補足

ここで、選択公理のパワーを、従属選択公理DCに落としたときの問題点は
集合Aの（可算）濃度割当とか、順序数との対応付けで
この点については、下記の 壱大整域 alg-d氏が参考になる
下記PDF 資料では、選択公理を使うとあるが
しかし、スコットのトリック(英: Scott's trick)があって
ZFC内で 選択公理なしで 正則性公理による方法がある

なお、さらに付言すると
集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S を 下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
だが

こいつは属人性があって
例えば Bさんの集合族と選択関数は a→a' (a≠a')でも良い
つまり
{A,A-{a'0},A-{a'0,a'1},A-{a'0,a'1,a'2},・・,A-{a'ξ：ξ<α},・・} とできる

また別のCさんが a→a'' (a≠a'')で
{A,A-{a''0},A-{a''0,a''1},A-{a''0,a''1,a''2},・・,A-{a''ξ：ξ<α},・・} とできる
各人勝手気ままだ

上記の集合族以外のSの要素は、もっと気ままで
どう決めようが、集合族
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
とは、何の関係もない！ｗ ■

(参考)
alg-d.com/math/ac/
壱大整域
選択公理
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alg-d.com/math/ac/tsudoi3.pdf
第三回関西すうがく徒のつどい
数学の諸定理と選択公理の関係 alg d 2013

2 濃度選択公理がないとまずヤバイのが濃度に関する話題で，まずはその辺りを見ていきます．

4 弱い選択公理

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF
スコットのトリックとは真クラス上の同値関係についての同値類の定義を、累積的階層のレベルを参照することによって与える方法である
この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]。この方法は Dana Scott (1955) によって導入された。
順序数の代表元を集合として定義する問題を超えて、スコットのトリックは基数の代表元を得たり、もっと一般的な同型類（英語版）にも用いることができる。例えば、全順序集合の順序型はその一例である

en.wikipedia.org/wiki/Scott%27s_trick
Scott's trick
The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice. It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955).
Beyond the problem of defining set representatives for ordinal numbers, Scott's trick can be used to obtain representatives for cardinal numbers and more generally for isomorphism types, for example, order types of linearly ordered sets (Jech 2003:65).
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