>>299
任意の n≧2 なる整数nに対して n!＋1＜2(n!)＜(n＋1)! である
ことを使って、Aを上から評価すれば済む

Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) が有理数であると仮定する
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝1＋ _{k＝2,3,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝1＋Σ _{k＝2,3,…,+∞}(1/k!)
＜1＋Σ _{k＝1,2,…,+∞}((1/2)^k)
＜1＋1＝2
であって、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＞1 であるから、
仮定から、或る互いに素な2つの正の整数p,qが存在してpは p≧2 を満たし
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＝q/p である
よって、(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は正の整数である
同様に、(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1)) は正の整数である。故に、
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))−(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1))
とおけば、Aは正の整数である。任意の n≧2 なる整数nに対して
n!＋1＜2(n!)＜(n＋1)! であることに注意して、Aを上から評価すれば
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝p!×(p!＋1)Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＜p!×(p!＋1)Σ _{k＝p,p+1,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝p!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/((k＋p)!＋1))
＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/((k＋p)!＋1))
＜(p!)/(p!＋1)＋(p!)Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/((p＋1)!＋1)^k)
＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)/((p＋1)!＋1)×1/(1−(1/((p＋1)!＋1)))
＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)/(p＋1)!＝(2(p!))/(p＋1)!
＜1
である。よって、Aは正の整数ではない
しかし、これはAが正の整数であることに反し、矛盾が生じる
故に、背理法により、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は無理数である