(続き)
aは正の無理数であって、aと1は有理数体Q上一次独立であるから、
A(μ) の定義から、|a−p/q|＞0 である
また、正の無理数aの無理数度 μ(a) の定義に着目すれば、2＜μ≦+∞ である
よって、|a−p/q|＜1/q^μ を満たす有理数 p/q の分母qについて、
0＜|a−p/q|＜1/q^μ なることに注意すれば、
確かに q≦0 なることはあり得ず q≧1 である
同様に 2＜μ≦+∞ であるから、A(μ) の定義から、|a−p/q|＜1/q^μ なる
正の有理数 p/q q≧1 の分母qについて、1/q^μ≦1/q^2 である
故に、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q≧1 は |a−p/q|＜1/q^2 を満たす
aは正の無理数であるから、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q≧1 の分子p
が p≦−1 なる整数であることはあり得ず、p≧0 である
有理直線Qの有限部分集合 A(μ) に属する有理数 p/q は任意であるから、
|a−p/q|＜1/q^2 なる有理数 p/q p≧0 q≧1 は高々有限個しか存在しない
しかし、正の無理数aは一意に正則無限連分数展開されるから、
|a−p'/q'|＜1/(q')^2 なる正の有理数 p'/q' p'＞1 q'＞1 は無限個存在する
正の無理数aの無理数度 μ(a) が 2＜μ(a)≦+∞ を満たすこと、
及び有理直線Qは可算無限集合なることに注意すれば、
|a−p/q|＜1/q^μ が成り立つ有理数 p/q が
非可算個存在することはあり得ず、高々可算個存在する
μ∈G なる実数μは任意であるから、実数直線Rの部分集合Gは可算無限集合である
Gは正の無理数aを任意に取ったとき、正の無理数aの 2＜μ(a)≦+∞ なる
無理数度 μ(a) に対して定義される実数直線Rの可算無限部分集合であった