>>167
>>複素平面内の単位円周上で正則な複素関数
>そういうものはない

下記の 高校数学の美しい物語 によれば
複素関数の微分可能性（つまり正則）は、”コーシーリーマンの関係式を満たす”必要があり
”コーシーリーマンの関係式を満たす”には
xとyの2方向 つまり 2次元的広がりが必要ってことですかね？
が、正則関数を 複素平面内の単位円周上に制限して考えることはできるかも

(参考)
https://manabitimes.jp/math/1310
高校数学の美しい物語
コーシーリーマンの関係式と微分可能性・正則関数 2022/03/18

複素関数の微分可能性についての定理
z=x+iy（x,y は実数）とする。次の2条件は同値である。
1.f(z)=u(x,y)+iv(x,y) が複素関数の意味で微分可能（正則関数）
2.u(x,y),v(x,y) が（2変数実関数の意味で）全微分可能であり，コーシーリーマンの関係式を満たす。
（ただし，u,v は実数）