ホイヨ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ集合論
標準的な集合論との関連
現代のZFC公理系において、分出公理における「命題関数」とは「パラメータを含む一階の論理式で定義される任意の特徴」として解釈されるため、分出公理は公理図式で置換される。「一階の論理式」という概念はツェルメロが自身の公理系を発表した1908年には知られておらず、ツェルメロは後にこの解釈をあまりにも限定的であるとして拒絶していた。ツェルメロ集合論はふつう、分出公理のそれぞれの一階の論理式を公理図式で置換した、一階理論として捉えられる。ツェルメロ集合論を二階述語論理の理論として捉えることもでき、その場合は分出公理は単に一つの公理となる。ツェルメロ集合論の二階述語論理としての解釈はおそらくツェルメロ自身の考え方に近く、一階述語論理での解釈よりも強い

ツェルメロ集合論ではこれらの基数の存在を証明できない(基数と順序数は通常の形の定義では不具合があるため、ツェルメロ集合論においては基数を異なる形で定義する必要がある。というのも、通常の形で定義した場合、順序数 ω·2 の存在さえも証明できない)

無限公理は今日では通常、最初のフォン・ノイマン順序数
ω の存在を主張する形に変えられる。元のツェルメロ公理はこの集合の存在を証明できない。変更版のツェルメロ公理はツェルメロの無限公理を証明できない
ツェルメロの公理(元あるいは変更版)は、集合としてのVω の存在や、添字が無限である任意のランクの累積的階層集合の存在を証明できない
ツェルメロは、集合ではなく要素を持たないアトム(urelement)の存在を許容した。アトムは集合論では通常取り除かれる

マックレーン集合論
Mac Lane (1986) で導入されたマックレーン集合論は、分出公理を各量化子が有界である一階の論理式に制限したツェルメロ集合論である。 マックレーン集合論は強さとして自然数対象(英語版)のトポス理論や、プリンキピア・マテマティカのシステムに類似する。これは、集合論や論理学に直接関係しない、ほぼすべての通常の数学を行えるほどの強さである

ツェルメロの論文の目的
非構成主義者による無矛盾性の主張は以下のとおりである。以下のように、順序数 0, 1, 2, ...,ω, ω+1, ω+2,..., ω·2 の1つである α に対して Vα を定義する：
・V0 は空集合である
・β+1 という形の後続順序数である α に対して、Vα を Vβ のすべての部分集合の集まりとして定義する
・極限順序数 α(例えば ω, ω·2)に対して、Vα を β<α に対する Vβ の和集合と定義する
すると、ツェルメロ集合論の公理は無矛盾になる。これらの公理はモデル Vω·2 の中で真であるためである。非構成主義者はこれを有効な主張であるとみなすかもしれないが、構成主義者はそうでないと考えるだろう
この主張は、ツェルメロ集合論に1つ新たに(単に Vω·2 が存在するという)無限公理を加えることで、有効な証明になる。これは構成主義者に対して説得力がないかもしれないが、ツェルメロ集合論の無矛盾性を元のツェルメロの理論から大きく違わず、少し強力な理論で証明できることを示している

https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo_set_theory
Zermelo set theory