そもそもデデキントの切断とコーシー列による定義の同値性とかいう以前に
君、ほんとに「コーシー列による定義」を正しく理解してる？

１つの有理コーシー列が１つの実数に対応するわけではないぜ

「そんなこたぁ、いわれなくてもわかってる！」と君はキレるだろうが

じゃ、どういう場合に、２つの異なる有理コーシー列が同じ実数を表すか、正確に言える？

そんな些末なこと、というなら、君には数学は絶対に理解できないから、今この瞬間諦めな
「神は細部に宿る」んだよ　粗雑な精神の持ち主は神を見ることなく死ぬ