＞この物言いからは同値類という言葉は出てこないから
＞収束しなければ収束先が意味を為さないんだが、
＞有理数からなるコーシー列が収束するのはどの集合上で？

収束するのは有理コーシー列の同値類としての実数の集合内で

「有理数をそれで代表される同値類と同一視した時に」

と断ってあるので、この状況では有理コーシー列の収束先は
実数である