>>628
>　実数を正規連分数で表現した場合、
>　無理数は正規連分数の列として一意化できるが

まあ、そうかな
そして、その無限正規連分数表現で
連分数の段数を定義すると

つまり、普通の分数 1/n なら 1段
1/(n+1/p) なら 2段 ・・など
分数の横棒が増えるほど段が上がるとして

無限正規連分数表現から 有限連分数の列が構成できる
即ち、無限正規連分数表現でn段で打ち切った連分数の次に、n+1段で打ち切った連分数 を並べるとする

これはコーシー列になる n段とn+1段との数列の差は どんどん小さくできて 任意εより小さくできるだろう
無理数が 正規連分数の列の表現で一意化できるならば、それから構成する コーシー列も一意にできる

この正規連分数の一意化表現を使った実数の定義はと n進小数展開による実数の定義とは
「実数体の定義を満たす二つの順序体は順序体として同型（＝順序同型かつ体同型であるような写像が存在する）」（下記）
が言えるでしょう（証明は探せばどこかに落ちているだろう by スレ主ｗ ；ｐ）

(参考)
https://manabitimes.jp/math/919
高校数学の美しい物語2023/08/20
連分数展開とその計算方法
連分数・連分数展開に関する基本的な知識を解説します。連分数を背景とした入試問題もいくつか出題されています。
目次
連分数と正則連分数
有理数の連分数展開の例
連分数展開とユークリッドの互除法
有理数は有限正則連分数で表せる
無理数の連分数展開
より詳しく知りたい方は 実数を分数で近似する【ディリクレのディオファントス近似定理】 をご覧ください。
例えば，2011年東大前期理系問2は，この記事の内容を理解していれば非常に簡単に解けます。
Tag:東大入試数学の良問と背景知識まとめ

https://manabitimes.jp/math/2765
高校数学の美しい物語2023/07/13
実数を分数で近似する【ディリクレのディオファントス近似定理】
目次
分数による実数の良い近似
有理数の良い近似
ディリクレのディオファントス近似定理
連分数展開と良い近似
無理数度
実は，
有理数の無理数度は 1 です。
代数的な無理数の無理数度は 2 です。
超越数の無理数度は 2 以上です。
リウビル数の無理数度は ∞ です。→リウヴィル数の具体例と性質

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
連分数
正則連分数は、最大公約数を求めるユークリッドの互除法から自然に生ずるものであり、古くからペル方程式の解法にも利用された。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数
構成方法は複数ある。また本記事では言及されていないが本来存在するならば、それがある意味で一意的なものであるかを確かめる必要があるが、実数体は実際にある意味で一意的に定まる[注 2]。
注釈
2.^ これは正確に述べると「実数体の定義を満たす二つの順序体は順序体として同型（＝順序同型かつ体同型であるような写像が存在する）」という意味である。