>>586
(引用開始)
自然数の定義
整数の定義
有理数の定義
そして
実数の定義
その結果
有理コーシー列の収束先は実数
ということになる
(引用終り)

＜蛇足＞
5ch便所板 おミソのスレ主です

Terence Taoの intuition, and the “big picture”（下記）の視点から書く
下記 尾畑研 第16章整数・有理数・実数 および 実数の構成に関するノート∗原隆 から

1）自然数、整数、有理数は、尾畑研を ご参照
2）ここで、有理数が 普通の絶対値の距離で 稠密であることが肝なのです
3）有理数が稠密なので、有理数によるコーシー列 を作ると
　有理数によるコーシー列は、有理数集合Q内に収束することもあれば、Q外に収束することもある
　有理数Qによる全てのコーシー列の収束点を集めた集合が、実数Rです
4）有理数Qによる全てのコーシー列で、同じ収束点に収束するコーシー列が複数存在する
　そうすると 対応が 全射になる。これを全単射（1対1対応）にしたい
　そこで、同じ収束点に収束するコーシー列をまとめて 同値類とする
　同値類と収束点との対応は、全単射（1対1対応）です
　こうすると、万人で同じ対応付けができる
5）別に、デデキントは切断を考えた
　これは、原隆にある
6）原隆「5実数の一意性」で、コーシー列と デデキント 切断とが 数学的には 実数Rとして一意になる
7）実数Rのコーシー列は、R内で収束する。実数の連続性という（完備性とも）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%9B%86%E5%90%88
稠密集合
位相空間 X の部分集合 A が X において稠密（ちゅうみつ、英: dense）であるとは、X の各点 x が、A の元であるか、さもなくば A の集積点であるときにいう[1]。イメージで言えば、X の各点が A の中か、さもなくば A の元の「どれほどでも近く」にあるということを表している。例えば、有理数は実数の稠密集合である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7
実数の連続性
実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる
ここで言う連続性は、関数の連続性とは別の概念である

つづく