任意の実コーシー列が収束すると証明するには、当然、実数の定義が必要だ

それは必ずしも
デデキントの有理数の切断
カントールの有理コーシー列の同値類
でなくても、それらと同等のものであればいい
（例えばアルキメデスの原理と区間縮小法の原理とか）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7

まあ、こういう話は結局、選択公理と整列定理の関係みたいなことになるわけだが
そうだとしても、実数をナイーブに定義すると失敗するので詳細を詰める必要はある
粗雑なおミソ君には到底無理だろう

ふっふー、ほっほー