>>718 補足
>4）有理数Qによる全てのコーシー列で、同じ収束点に収束するコーシー列が複数存在する
>　そうすると 対応が 全射になる。これを全単射（1対1対応）にしたい
>　そこで、同じ収束点に収束するコーシー列をまとめて 同値類とする

有理数Qによるコーシー列だから、一つの同じ収束点に、複数のコーシー列が存在するのです
しかし、>>625より
　>>554より (引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence. For example, when
r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.
(引用終り)

つまり、有理コーシー列ならば 表現の自由度が大きいから
”For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms”
を使おうってことだ

かつ、 (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...) のように 最小の一桁ずつ 桁数が伸びるようにする
そうすれば、the sequence of truncated decimal expansionsで 1桁ずつの小数展開
では、表現は一通りだ
(引用終り)

このように、無限小数展開を使えば、ここから コーシー列は一意（但し 9999・・ の繰り上がりは別途処理要）
つまり、コーシー列の工夫で コーシー列の ”同値類”概念は、外せる
即ち、”同値類”概念は 必須でなく、本質でもない！ｗ ；ｐ）