ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1741617540/1-
前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ15

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく

つづき

5ch便所板 おミソのスレ主です

上記の原先生にあるように
”実数の構成法にはいろいろな方法がある”
”「区間縮小法」を用いる方法などがある”
”高木本[7]，小平本[6]・・ これらの本では乗法や除法の前に極限を扱っており，これは講義の進め方とは異なる”
また
”3.2.2 同値類の実際の形”で
同値類の代表を使った ”同値類の実際の形”の説明を丁寧にしている
さらに
”コーシー列の同値類として定義する方法は実数のみならず，より高度な「完備な関数空間」の定義にも使え，現代解析学の大きな武器の一つとなっている．
そこで，この方法を3章で解説する．”
とある。つまり、先に行って 別の”より高度な「完備な関数空間」”とか 「ノルム空間の完備化」とか そちらにも使えるように キッチリ書いているってことよ

初学者は、そういうことをしっかり勉強すれば良いんだよ おサルさん>>7
以上

自然数はどういう形で表現してもいい
そして足し算や掛け算の具体的方法は
その表現に依存する

例えば自然数のunary表現は
単にその個数だけ記号を並べるだけなので
足し算はただ足し合わせるだけだし
掛け算もただその回数コピーするだけ
もうわざわざ教えるまでもない

２進法だったら、九九の表は１×１＝１で終わり
九九を８１も覚える必要はない

１０進法だから面倒だということもある
そして１０進法の筆算法がそっくりそのまま
ｎ進法に転用できるわけではない
覚える九九が違ってしまうから

そういう個別のゲームだけ覚えてドヤっても
自然数の一般論がわかるわけではない
掛け算の交換法則が成り立つことは知っていても
なぜそうなるか証明できる小学生はまあいないだろう
教えてないのはもちろんだが、そもそも証明の意味がわからんだろう
証明するには、自然数の定義という前提が必要
なんもなしに空から証明できるわけがない

>>809
>”コーシー列の同値類として定義する方法は実数のみならず，より高度な「完備な関数空間」の定義にも使え，現代解析学の大きな武器の一つとなっている．
>そこで，この方法を3章で解説する．”
>とある。つまり、先に行って 別の”より高度な「完備な関数空間」”とか 「ノルム空間の完備化」とか そちらにも使えるように キッチリ書いているってことよ
君の持論「同値類は本質ではない」が完膚無きまでに否定されましたとさ

>>809
>先に行って 別の
>”より高度な「完備な関数空間」”とか 「ノルム空間の完備化」とか そちらにも使えるように
>キッチリ書いているってことよ
>初学者は、そういうことをしっかり勉強すれば良いんだよ

そういうこと、とは、どういうこと、かい？
そういうこと＝「先にいってやることだから、肝心の方法は今は棚上げ」なら、
「ボクは何も理解できんし理解する気もない正真正銘の🐎🦌でぇす」
って開き直ってるだけなんだが、それでいいか？おミソ

>>808
>同値類がよく見えないという人もいると思うので，ちょっと余分なことを書いておく．
以前どっかで「商集合が分からない人は大学数学は厳しい」という台詞を聞いたことがある
おサルがまさにそれ

自然数の交換法則を証明するのに、自然数を定義する場合
別に１０進表現法に固執する必要もないし、
むしろそのことで無駄な複雑さが生じることもある

タイルによる表現は実は暗にunary表現を導入してるようなものだが
まだunary表現のほうが扱いやすいからそうしているというのもある

しかし、実はunary表現に固執する必要もない
つまり、いちいち数をその個数だけ並べたものとして表現して考える必要もない
その典型が自然数の帰納的定義と数学的帰納法による証明である

具体的表現に固執する奴には、数学的帰納法はまだるっこしいだけだろうが
逆に自然数の表現に固執する限り、自然数の一般的性質の正当性を
「具体的事例の提示の集積」以外の形で示すことはできないだろう
そして自然数が無限にあると考えるなら「具体的事例の提示の集積」は
根本的に不可能だともわかるだろう

「掛け算の順序」は、
もともと、文章題を解く際に
ただ文章を読んで理解することなく　
数を順番に拾ってそのまま掛けてるだけ
という残念なことをやってる小学生が
多々いるというので、そういうことを防ぐ目的で
導入したと思われる

したがって、順序がどうでも答えが同じというのはその通りだが
それを敷衍すると、文章を読まずに漫然と出てきた順に掛けてもOK
と認めることになり、全然教育にならない

なんか数学者でも頭のオカシイ連中は文章を読んで理解するのが
嫌いなのかなんなのかしらないが、それを全く無視して
「順序を強制するのはオカシイ」と偏狭な正論を吐き散らかす

その正論自体に反論の余地はないが、
じゃあ小学生が文章を読まずに回答する怠慢を
どうやってなくせばいいかというと
「それは算数じゃなく国語」
といって逃げる　

その言い草は馬鹿の極みといっていい

算数で国語を教えてはいけない、という道理はない
というか、算数に限らず他の教科でも国語は大変重要である
ここでいう国語とはズバリ論理であって、
情緒とかそういうものは一切入ってない

小学校・中学校・高校で、論理に基づく理解、を全然教えないから
大学に行っても全然何も分からんことになり、４年間無駄に過ごした上で
会社に社奴として雇われ、会社のいうとおりの機械としてこき使われるのである

人間として必要な知能を得ることがないから
人間としての幸せを得ることができない
実に哀れと言わざるを得ない

>>809
>”「区間縮小法」を用いる方法などがある”

5ch便所板 おミソのスレ主です
「区間縮小法」を検索すると、下記など
『この区間縮小法は解析学でよく使われる定理で,特に方程式の根を数値的に求める場合の基本原理となります.』って （＾＾

(参考)
https://math-note.com/proof-of-method-of-nested-intervals/
数学ノート
数学修士卒会社員による身の回りの数学に関する話
区間縮小法の証明（解析学 第I章 実数と連続5）
2019年9月15日

我々は今,実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義,様々な極限操作を論理的に厳密に扱えるようになりました.今回は「区間縮小法」という重要な定理を証明します.
目次【本記事の内容】
区間縮小法と証明
定理のポイント
まとめ（実数の連続性公理）
なお,「東京大学出版　杉浦光夫著　解析入門１」を参考としております.
区間縮小法
定理（区間縮小法）有界な閉区間の列{In}n∈Nが単調減少,つまり,次を満たすとする.
以下略
定理のポイント
区間縮小法の証明には,本質的に次の事実を使いました.
有界な単調増加・減少数列は上限・下限に収束する

これは,実数の連続性公理から導かれる定理でした.無限に小さな話など,想像がつきにくくなる現象の議論には,このような数学的な定義と演繹的な議論が必要です.
この区間縮小法は解析学でよく使われる定理で,特に方程式の根を数値的に求める場合の基本原理となります.
方程式f(x)=0の根αが,an≤α≤bn,　α∈In=[an,bn]で評価できているとき,上下の数列でうまく単調減少列In⊃In+1⊃⋯が作れれば,どんどん根αの近似解が得られます.

まとめ（実数の連続性公理）
Dedekindの切断に関する実数の連続性公理から議論をスタートして,収束の定義によって今まで分かったことを次でまとめておきます.
略す

https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/08/core08.pdf
2008.04.14.数学II （理系コア科目）担当：原　隆（数理学研究院）：

P8
以上の下で，実数の連続性（完備性）の公理を述べることができる．
公理2.1.4 (実数の連続性の公理 I — 収束部分列の存在)
有界な無限数列は必ず，収束する部分列を含む．つまり，有界な無限数列{an}が与えられれば，その部分列{bn}をうまくとって，{bn}が収束するようにできる．

2.1.2 実数の連続性の「公理」その２ — 有界単調列の収束
略す

2.1.3 実数の連続性の「公理」その３ — 上限・下限の存在
略す

以上３つの連続性の公理I, II, IIIが同値であることはこれから証明する．

実はこの他にも連続性の公理の表現はある．大雑把にいうと
• デデキントの切断を用いて，「実数の切断にはII型かIII型しかない」とやるもの
• 「アルキメデスの公理」＋「区間縮小法の原理」をいうもの
• 「アルキメデスの公理」＋「コーシー列は必ず収束する」とやるもの
などである．

P14
続いて「区間縮小法」について
公理2.1.11 (実数の連続性の公理 IV-区間縮小法)
略す

>>817
初歩から分かってないおサル、コピペでごまかすの巻

>>818
オチコボレさん、ご苦労さまです
5ch便所板 おミソのスレ主です

下記を百回音読してねｗ ；ｐ）

(参考)
https://math-note.com/category/analysis/introduction-to-analysis%e2%85%a0/
数学ノート
数学修士卒会社員による身の回りの数学に関する話
カテゴリー: 解析入門�T

https://math-note.com/cauchy-convergence-condition/
コーシーの収束条件（解析学 第I章 実数と連続7）
2019年9月25日
数列が収束する条件があると便利です.極限値は分からなくても,数列がCauchy（コーシー）列であれば,収束することが分かります.今後も使う非常に有用な定理です.今回はCauchy列が収束することを分かりやすく証明します.
目次【本記事の内容】
Cauchy（コーシー）列とは
Cauchyの収束条件
Cauchy列の例
バーゼル問題
証明
まとめ（実数の連続性公理）

https://math-note.com/equivalence-continuity-of-real-numbers-cauchy/
コーシーの収束条件から実数の連続性を証明（解析学 第I章 実数と連続8）
2019年10月1日
我々は今,実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義,様々な極限操作を論理的に厳密に扱えるようになりました.
そして,数列の収束を判定するCauchyの収束判定条件を証明しました.
実は,アルキメデスの原理を加えれば,これははじめに仮定した「実数の連続性公理」と同値なのです.
今回はこれを証明します.
目次【本記事の内容】
実数の連続性公理
Cauchyの収束条件から連続性公理を導く
まとめ（実数の連続性公理）
なお,「東京大学出版　杉浦光夫著　解析入門１」を参考としております.

https://math-note.com/summary-of-real-continuity-axioms/
6つの同値な「実数の連続性公理」まとめ（解析学 第I章 実数と連続9）
2019年10月3日

>>819
オチコボレは有理コーシー列の収束先で実数を定義するとか言ってる君だね
実数を定義したからこそ有理コーシー列の収束先が存在するんだよ　分かったかい？

>>819
実数が未定義なら有理コーシー列の収束先は存在しないが同値類は存在する
同値類を理解してないからといって本質じゃないとかアホなこと言っちゃダメだよ

線型代数でワンアウト
実数論でツーアウト
集合論でスリーアウト

入学早々落ちこぼれたコンプレックスで数学板にコピペしまくるおサルさんでしたとさ

>>817
他人が教えた言葉を、自分が思い付いたような顔して、しれっと語る泥棒おミソ
>>819
でも結局自分じゃ全然説明できずに「下記を百回音読」と🐎🦌語で誤魔化すおミソ

ああみっともない　大学数学の初歩からオチコボレた、高卒おミソ

整数の集合 Z 上の2を法とした同値関係を考える，
つまり x ∼ y とはそれらの差 x − y が偶数であることである．
この関係はちょうど2つの同値類を生じる：
1つはすべての偶数からなり，もう1つはすべての奇数からなる．
この関係の下で，[7], [9], [1] はすべて Z/∼ の同じ元を表す．

X を b が 0 でない整数の順序対 (a, b) 全体の集合とし，
X 上の同値関係 ∼ を (a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc によって定義する．
すると対 (a, b) の同値類は有理数 a/b と同一視することができ，
この同値関係とその同値類は有理数の形式的な定義に用いることができる．
同じ構成は任意の整域の分数体に一般化することができる．

>>824
「つまり x ∼ y とはそれらの差 x − y が偶数であることである．」はNG
「つまり x ∼ y とはそれらの差 x − y が２の倍数であることである．」ならまだいいか

実数論は杉浦解析入門でよいでしょうか？

第一章 実数と連続

§1 実数

Rの性質は17個。
四則演算10個、順序6個、連続の公理1個
の3つに分けられる

四則演算

和の交換律、和の結合律
0の存在、逆元の存在
積の交換律、積の結合律
1の存在、
0以外の元について逆元の存在
1≠0、分配率

和と積に対して差と商

Rは体をなすという

集合Kに対して和が定義され、
和の交換律、和の結合律、
0の存在、逆元の存在
を満たす時、Kを加群という

Rから0を除いた集合R*に対して積が定義され
積の交換律、積の結合律、
1の存在、逆元の存在
が満たされる時、R*を積に関して加群をなす。可換群と言う

Kに和と積が定義され、
和の結合律、和の交換律、
0の存在、逆元の存在
積の結合律、分配律
が成り立つ時、Kを環という
環Kが
積の交換律
を満たす時、Kを可換環という

Zは可換環である

順序
関係「≤」a≤bについて
a≤a 反射律
a≤bかつb≤aならばa=b 反対称律
a≤bかつb≤cならばa≤c 推移律
ここまでを満たす集合を順序集合
a≤bまたはb≤aの少なくとも一方が成り立つ 全順序性
ここまでが成り立つ集合を全順序集合

a≤bならばa+c≤b+c
a≥0かつb≥0ならばab≥0

a≥b⇔b≤a
正または負または0

これら10個+6個を満たす集合を順序体
命題1

>>826-827
>実数論は杉浦解析入門でよいでしょうか？

どうも
5ch便所板 おミソのスレ主です

・杉浦解析入門は、向き不向きがあるらしい
　下記に 杉浦解析入門で、廃人になりかけた わんこら さんの話があるよ 向き不向きな
https://youtu.be/aWPAHRsCU_Q?t=1
僕がたどり着いた数学の勉強の仕方…わんこら式数学の勉強法はこうやって生まれた
わんこらチャンネル 2020/05/30
文字起こし
0:11
この解析入門1
これで僕は人生がむちゃくちゃになりました
これで
何回も何回も挫折して
家に引きこもって
そして留年しまくって
0:30
京都大学理学部行ったんですけど
以下略す
(引用終り)

>>Rの性質は17個。

下記だね
https://mathabyss.com/real_number-calculus/
MathAbyss
実数 〜17の公理を徹底解説〜 2024/10/06
実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことです．
実数とは
実数(real number)全体の集合
Rは次の17個の条件を満たす．
略
目次
実数の｢公理｣
R
R上の演算
1〜4の解説
5〜8の解説
9，10の解説
関連内容
略

さらに＜動画解説（初学者はここらで用語に馴れると良い）＞
https://youtu.be/2ezysyJZacI?t=1200
実数ってどう定義する？カギとなる【実数の連続性公理】を丁寧に説明します！
速習大学数学【山本拓人】 2022/04/22
0:00 この動画のテーマ
2:07 順序体のざっくりとした説明と具体例
4:05 「体」の定義(順序体が満たす性質１)
5:56 「全順序」の定義(順序体が満たす性質２)
7:09 「演算と順序の両立」の定義(順序体が満たす性質３)
8:35 順序体のきちんとした定義
9:22 実数の連続性公理とは
10:14 「上に有界」の定義
12:35 「上限」の定義
15:22 「上限性質」の定義
17:15 「実数」の定義
19:27 実数体の構成方法
20:53 実数体が本質的にただ１つであること

おサルへ
黙って君がコピペしたもので勉強しなよ
なんで勉強もしないのにしゃべりたがるの？　不勉強に発言権は無いよ

Rは稠密順序集合
ある実数の幾らでも近くに実数がある

最大元MaxA、最小元MinA
Rには最小元、最小元は存在しない
絶対値の性質 命題2
実数と数直線、幾何学的
字引式順序

上界、下界
上に有界、下に有界
上にも下にも有界の時、有界という

最小上界を上限、最大下界を下限
lub=sup glb=inf

連続の公理
Rの、上に有界な部分集合A≠∅に対してsupAがRの中に存在する
Qだと存在しない場合がある
命題4 下限の存在

終わり

>Rには最小元、最小元は存在しない
順序依存

>>830
>この解析入門1
>これで僕は人生がむちゃくちゃになりました
>これで
>何回も何回も挫折して
>家に引きこもって
>そして留年しまくって

杉浦解析入門を弁護しておきますが
私も 上記動画を見た後 機会があって 書店で チラ見しましたけど まあ 普通のことしか書いていなかった （＾＾
かつ、わんこらさんは、自宅に引きこもって 自学自習したそうですけど それには向かないかも
（分らないところを 人に聞ける環境があれば 杉浦解析入門でも やれると思います）
加えて、下記の謎の数学者氏 動画 ”数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む”も ご参照
もし 読めれば、杉浦解析入門 は、良い本らしい（下記のアマゾン書評ご参照）

(参考)
https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=11https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=1
数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む
謎の数学者 2022/06/07
コメント
@nejimakitaro
2 年前（編集済み）
数学書以外でも、専門書を読むときに、少し考えて理解できない時には、その箇所に"？"と記載して、読み進めるようにしています。改めて読み直した時に、初めて読んだ時よりも知恵がついて解決することが多いですね。なぜ"?"にしたのか分からないぐらい自明なときもよくあります。時間をおくことで、理解を阻害する思考のトラップやバイアスが相対的に弱まるのかもしれません。
@gary8593
2 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。
@デューク-v7s
2 年前
すごくわかる。大学院化学博士だけど、学部の頃は教科書がとても詳しいし平易だからスラスラ読んでいけば良かったが、研究室配属されてから専門書を読む時は、時々出てくる数式は軽く流してとりあえず全体の流れと結論を掴むことが重要だと知った
@nohohoii
2 年前
論文の読み方と同じですね。
AbstractとConclusionから読む。
@まるさんかくしかく-e3c
2 年前
奇しくも「わんこら式」とコンセプトが同じ

アマゾン
解析入門 (1) 単行本 – 1980/3/31
杉浦 光夫 (著) 東京大学出版会
書評 seo
5つ星のうち3.0 入門書としては☆ひとつ
2018年6月30日
解析学という書名で良いと思います。
入門とわざわざ付けることは非合理的で、何も良いことはありません。
様々な数学的分野は互いに互いを前提とする必要があるので、縦割りに順番に習得するものではなく、混じり合い行ったり来たりしながら学ぶものです。
よって本書が要求するある程度以上の数学的知識の前提を満たす者は、ある程度解析学にも触れているでしょう。
そういう意味では、本書は解析学の入門者を対象にしておらず、解析学も含めたある程度の数学的形式が頭の中にすでに存在する人を対象にしています。
前提とするものを最小限にし、かつ理解しやすさと厳密性を可能な限り両立させる事ができている本、それがいわゆる良い入門書だと思います。
厳密性と網羅性が優れている本が良い入門書とは思えません。

>>831
>おサルへ
>黙って君がコピペしたもので勉強しなよ
>なんで勉強もしないのにしゃべりたがるの？　不勉強に発言権は無いよ

ふっふ、ほっほ
5ch便所板 おミソのスレ主です

おサルさん>>7
それ 君の姿が 君の心の鏡に 君の数学オチコボレの姿が投影されているだけだよｗ ；ｐ）

何をほざいてんの？
実数が未定義なら有理コーシー列は収束しないという初歩の初歩も分かってないおサルが

>>837
>実数が未定義なら有理コーシー列は収束しないという初歩の初歩も分かってないおサルが

やれやれ
下記の ”高校数学の美しい物語 コーシー列”
『有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます』
を 百回音読してねｗ
これが、下記Terence Taoの 3.The “post-rigorous”、 stage intuition, and the “big picture”

確かに、>>777より https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原隆（九州大） では
『3.2 コーシー列による実数の定義
無限項もある数列が実数だということになったので，事態はより深刻かもしれない．
実のところ，ここではα “=” lim n→∞ an (3.2.5)を狙っているのである．つまり，「実数は有理コーシー列の同値類」とは言ったけども，実際には「実数はその有理コーシー列の極限」と定義したいのだ．しかし，今は実数を定義している途中であるから，考えているコーシー列は有理数の中に極限を持つとは限らない．（いや，正直，有理数の中に極限を持たないコーシー列の方が濃度の意味で多い．）これでは上の極限を使った定義はできない．仕方ないので，頭の中では「この数列の極限が実数なんだよ」と思いつつ，「この数列の同値類が実数」と言っているのである』

ここの 原隆が行っている 一旦 「実数は有理コーシー列の同値類」として → 「この数列の極限が実数なんだよ」を示す
これは、一つの証明の手筋として 覚えておくことではあるだろう、The “rigorous” stage (Tao) としてね
なお、実は有理数を完備化する方法は1通りではありません

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2844
高校数学の美しい物語
コーシー列 更新 2023/08/31

展望〜距離空間への一般化
有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます
実は有理数を完備化する方法は1通りではありません！ 興味がある人は
p 進数 で調べてみましょう
また関数列に対してもコーシー列を考えることができます。これはまた次の機会にお話します。

つづく

つづき

　>>316より
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
(google訳)
3. 「ポスト厳密」段階。以下略す
(引用終り)
以上

>>838
>>実数が未定義なら有理コーシー列は収束しないという初歩の初歩も分かってないおサルが
>やれやれ
>下記の ”高校数学の美しい物語 コーシー列”
>『有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます』
>を 百回音読してねｗ
やれやれ
完備ではない集合上での収束先って何？　答えてごらん　おバカさん

>>838は典型的おサル構文：コピペ内容は正しいがそれを含むレスは間違い

おサルさあ、気付いてるか？
おサルが>>718を書き込み後それまで有ったおサルへの擁護が皆無になったこと
擁護されてたのは単に言葉の解釈違いだっただけ　それが>>718ではっきりしたんだよ
つまり君は最初から落第のオチコボレってことだね

>>838 補足
> ”高校数学の美しい物語 コーシー列”
>『有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます』

Terence Taoのいう“big picture”は
上記の ”高校数学の美しい物語 コーシー列”のとおりです

有理数のコーシー列を使って、実数の元を追加していくと実数の集合が得られる
これで、有理数が完備化される（作った実数の集合による コーシー列 の収束は、また実数内となる（完備））

Terence Taoの“big picture”が すっぽりと 抜け落ちている。これ 数学オチコボレさん

下記の謎の数学者 の ”数学に向かない人”の話でも 「絵」に例えています
これ“big picture”ですね。 “big picture”が分らないおサルさん>>7ｗ これでしょうね ；ｐ）

(参考)>>835再録
https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=11https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=1
数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む
謎の数学者 2022/06/07
コメント
@gary8593
2 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。

＜文字起こし＞
3:19
この読む際にですねまあ先ほど言いました
ようにやってはいけない読み方というのは
これですねあの一語一句読んでしまうと
いう人がですねいるんですね一語一句
3:31
とりあえず1文1文ですね完璧に
読み進めようとしてしまう人それそういう
人はですね実はなかなか
あの数学とりわけ純粋数学には向かないん
ですね本当にですね
3:45
1文1文をですね完璧に理解して 次に進ん
でそれを完璧に理解しようとしてさらに次
に進むみたいなそういう形そういう読み方
をしているとあの絶対にですね数学書と
いうのは読み終わらないしそうやって読む
ものではないんです

4:42
各節の全体の構造を把握するというのがですね
まず最初に行うべきことであって枝葉部分
はですね思い切ってええまあなんですから
はしょるというかあまり気にしないで
分からないことがあってもですね
とりあえずどんどん進むぐらいのですね
そういう気持ちで数学書というのを読んて
いくそれがですね実はですね正しい数学書
の読み方なんですね

9:51
まあこれたとえですけれど　例えば
ですねこう 絵 を書くことを思い出して
ほしい
例えばこうどっかの風景
を見てですねなんか絵を描くそういう
ところですね

>>842
ご苦労さまです
世界的な数学者のコメントが頂けるのは ありがたいことです
御大もお忙しいのでしょうね

だいたいコメントが付くのは
”これは ちょっと看過できない”って場合でしょう

　>>718についてどう思っているかは 不明
コメントがないのは、だいたい正しいか
あるいは 箸にも棒にもかからないので コメントしようがないかの
どちらかでしょう ；ｐ）

>>843
>有理数のコーシー列を使って、実数の元を追加していくと実数の集合が得られる
>これで、有理数が完備化される（作った実数の集合による コーシー列 の収束は、また実数内となる（完備））
まったくその通り。
しかーーーーーし、「有理数のコーシー列の収束先を元として追加する」とはどこにも書かれていなーーーーいｗ

おサル構文で誤魔化すなｗ　いくらコピペしてもおサルの間違いが正しくなることはないぞｗ

>>844
>　>>718についてどう思っているかは 不明
それまで有った擁護が>>718を境にぱったり消えたことで悟れよサル

>>718はおサルがなぜ実数論で落ちこぼれたかよく分かる貴重な試料だからテンプレに入れとけ

>>841
>>>838は典型的おサル構文：コピペ内容は正しいがそれを含むレスは間違い

5ch便所板 おミソのスレ主です
いや、だから そのぉ〜ｗ

それで 良いんじゃね？
コピペの方を見て貰えれば それで

で、地の文をみて 間違っていれば
そこは 端的に指摘してもらえば ；ｐ）

>>848
>で、地の文をみて 間違っていれば
>そこは 端的に指摘してもらえば ；ｐ）
だから
>完備ではない集合上での収束先って何？　答えてごらん　おバカさん
って言ってるのになんで答えないの？　おバカさん

>>845

a)有理数のコーシー列を使って、実数の元を追加していくと実数の集合が得られる
b)有理数のコーシー列の収束先を元として追加する（実数の集合が得られる）

この二つの文は数学的に 同値

a)有理数のコーシー列を使って、実数の元を追加していくと実数の集合が得られる
　↓↑
b)有理数のコーシー列の収束先を元として追加する（実数の集合が得られる）

例えば、端的にいえば b)でデデキントの切断を使って 実数を定義したのちは
a)有理数のコーシー列を使って、実数の元を追加していくと実数の集合が得られる
有理数のコーシー列の収束先は、実数となる

ホーキンスの超弦理論なんかは割合はやってたけども彼は神と対決していたう一つ理系と言えば外科が神だったが殺意への反省付随で成り立つカオスの外科でなく神経内科精神科などの傷への癒やしのロウが反逆して神に対抗する反乱をして神に挑戦するというシナリオはどうだろうか。世界は中和されてニュートラルな新しい人間の価値観が生まれるかもわからん。人間とは。

神と対決していたもう一つ

攻撃的なものは当たり前で守備的なものが高く勝つ要素となりはしないか。

神が法則を決めたのではなく人間の自由意志が制限しあって良い結果を出してきたのでは。

>>850
>b)有理数のコーシー列の収束先を元として追加する（実数の集合が得られる）
実数の集合が得られる前の有理数のコーシー列の収束先とは何か答えよ

>>850
>b)有理数のコーシー列の収束先を元として追加する（実数の集合が得られる）
例えば、有理数のコーシー列 3,3.1,3.14,3.141.・・・ の収束先は実数の集合が得られる前に存在しているか？　存在しているならそれは何か？　答えよ

>>850 補足

b)有理数のコーシー列の収束先を元として追加する（実数の集合が得られる）

これで、有理数のコーシー列の収束先を元として追加してできる集合をXと名付けるとして
集合をXが、実数Rと数学的に同じであることを言えば良い

そのために、>>838 実数の構成に関するノート∗原隆（九州大） では
有理数のコーシー列の収束先を元 を、一旦 コーシー列の同値類として 考えて
そこから 再度 極限を定義して それが 有理数のコーシー列の収束先を元 だとして
集合Xが、いわゆる実数Rと数学的には 同値であると導いているだけのこと

この原隆の手法は、証明の手筋だね

“big picture”は、”b)有理数のコーシー列の収束先を元として追加する（実数の集合が得られる）”で
なんら 不都合はない

数学を勉強するよりコーランにあるような男性であり女性であるようなアッラーの神格が男女の人格に乗り移ってくるようなことのほうが数学以降の上達が早いのでは。

信仰とセットなっている数学を信仰と切り離して考えてはならないと思う。

>>857
>これで、有理数のコーシー列の収束先を元として追加してできる集合をXと名付けるとして
君は>>855が読めないのかい？　なら小学校の国語からやり直し

>>857
小学校の国語もできないサルが何を言っても無駄口にしかならない
口閉じて勉強しなよサル

学問として文学は神話と切り離せずそれを題材にしているから神の言葉と思考、または予言のような言葉として神の予言のような言葉と数学を繰り返していればいい雰囲気になる。

なんのためにどのように数学をするのかならベドウィンのムハンマドとハディージャに教えを請うべきだ。文学者である預言者が旧約聖書のアダムとイヴと交信して生き方を見つけるように。

そういうはっきりとした信仰や目的がないと夫婦は一神教だが数学も文学も倦んでしまう。

例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることによりコーシー列を得ることは、対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する

>>857
魔法の呪文”完備化の普遍性”
”そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すことを示すのは容易である。この新しい体は完備であり、自然な全順序を備え、同型を除いて唯一の完備全順序体となる。こうして実数全体の成す体が「定義」される（より詳しくは実数の構成法（英語版）の項も参照のこと）。こうして作った実数と普段見慣れた実数とが同一視できるということを実感する一つの方法は、その実数を極限として与える「はず」の有理コーシー数列の同値類を同定することである。例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることによりコーシー列を得ることは、対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する”
アーメン！ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 ℚ は完備でないが、これは例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
完備化
任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′（あるいは M とも書く）を構成することができる
完備化の普遍性
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。空間 M′ は等距変換の違いを除いて、この普遍性によって決まり、M の完備化と呼ばれる。
M の完備化は M 内のコーシー列のある同値類集合として構成することができる。まず M 内の任意の二つのコーシー列 (xn)n と (yn)n に対して、それらの間の距離を
d(x,y)=lim n d(xn,yn) で定める（この極限は、実数直線が完備であることから存在する）。
これは実は擬距離であって距離関数ではない（二つの相異なるコーシー列の間の距離が 0 となることがあり得る）が、「距離が 0 である」というのはコーシー列全体の成す集合上の同値関係で、これで割って得られる同値類集合は距離空間となり、これが M の完備化を与える。もともとの空間 M は各元 x に対して、x に収束するコーシー列の同値類（これはつまり各項が常に x を値に取る定値列を含む同値類である）と x とを同一視することにより、完備化へ埋め込まれる。この埋め込みが所期の通り稠密部分空間の上への等距変換を定める。ただし注意すべき点として、今示した構成法は実数の完備性を明示的に用いているので、有理数の集合 ℚ の完備化については少し異なる扱いが必要になる

つづく

つづき

実数全体の成す集合を、有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得る、カントールによる実数の構成法は、上記の構成法と同様だが、実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されないという問題に慎重に取り組まねばならない。そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すことを示すのは容易である。この新しい体は完備であり、自然な全順序を備え、同型を除いて唯一の完備全順序体となる。こうして実数全体の成す体が「定義」される（より詳しくは実数の構成法（英語版）の項も参照のこと）。こうして作った実数と普段見慣れた実数とが同一視できるということを実感する一つの方法は、その実数を極限として与える「はず」の有理コーシー数列の同値類を同定することである。例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることによりコーシー列を得ることは、対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する。

素数 p に対する p-進数は、上記とは異なる距離関数に関して有理数の集合を完備化することによって生じる。
先の完備化の構成法をノルム線型空間に施せばもとの空間を稠密部分空間として含むバナハ空間が得られ、内積空間に施せば元の空間を稠密部分空間として含むヒルベルト空間が得られる。
(引用終り)
以上

>>866
>この新しい体は完備であり、自然な全順序を備え
自然な全順序を示せる？　示してみて

>>866
>同型を除いて唯一の完備全順序体となる。
その順序で順序体となることも示してみて

>>866
あと君によると「実数の構成には選択公理が必要」だそうだけど、どこで選択公理使ってるのかも示してみて

おミソ
>「実数の構成には選択公理が必要」

彼は、有理コーシー列の同値類そのものを、実数だと考えることがどうしてもできない
（有理コーシー列の和差積商の定義を真面目に読まず、したがって理解できないからｗ）

その代わり、特定の有理コーシー列そのものを、実数だと考えたがる
（つまり、無限小数として理解可能な、有限小数の列）

そのようなものが同値類の代表としてとれる、というために選択公理が必要、と誤解してる
（そもそも、具体的な選択が可能なんだから選択公理がいらない、ということに思い至らないｗ）

とにかく数が具体的な表記を持っていないと理解できない具体頭のサルに大学数学は理解不能

実数の定義、位相の定義も理解できんサルに
それよりさらに抽象的な層とか圏とかトポスとかの定義が
理解できるわけなかろう

> 魔法の呪文

　数学が理解できない🐎🦌は
　やたらと魔法とか呪文とかお経とか言い出す
　理解すればそんなものはないと分かるんだがなｗ

> Terence Taoの“big picture”が すっぽりと 抜け落ちている。これ 数学オチコボレさん
それ、おミソのことじゃん
収束先っていったら🐎🦌なんだよ

１．まず、有理数のコーシー列全体を考える
２．その中から、２列の各項の差をとってできる列が、０に収束するコーシー列の場合
２列は同値、という同値関係によって、コーシー列を類別する
３．各類同士の和・差・積・商を改めて定義する

これが実数定義の“big picture”

このとき、新たに定義した実数の中での有理数は、元の有理数そのものではなく
元の有理数に収束する有理コーシー列全体からなる同値類、となる
そして、実数のコーシー列は、そういう有理コーシー列の同値類同士の
距離に基づいて新たに定義された、”有理コーシー列”のコーシー列であり
その収束先もまた、実数、すなわち有理コーシー列の同値類で

>有理コーシー列の和差積商の定義を・・・
これ実はそう単純ではない。
例えば、同値類に属す列を使って同値類の商を定義するにも、有理コーシー列環には零因子があるからその考慮をしっかり入れないと上手く定義できない。
コピペして分かった気になってるおサルはそんなことまったくお構い無しなのだろう。

>新たに定義した実数の中での有理数は、元の有理数そのものではなく
自然な埋め込みf:Q→Rが存在して、R上の有理数はq∈Qではなくf(q)∈R
おサルはぜんぜん分かってなさそうだが

>>794(>>804)の
>γは周期に属し、かつ有理数ではなく
>リウビル数ではない超越数であることは確信出来た
について、γが周期に属するかどうかはまだ分からないので
>γがリウビル数ではない超越数であることは確信出来た
に訂正

まあ、仮にγが本当に有理数であれば、
>>794(>>804)のような形のγの無理性の類推は通用せず、
一体実際にはどうなんだろうかと思ってしまう

しかし下水の質によって人間の表情や脈動などが決まっていないかスレ主さんには良い趣味を感じるが繊細な意味でいうとハラスメントになるが。隔離するしかないな。他も合わせて。

何か先決なことを忘れて後回しにして惜しいが。

ハンドルネームはそのままでいいのか。性欲優先で汚いものを編集して生活から切り取ることから被害が出てるわけじゃないか。

ハンドルネームはそのままでいいのか。性欲優先で汚いものを編集して生活から切り取ることから被害が出てるわけじゃないか。

>>876
商は厄介ですね
まあ、小数の計算しかしないおサルは
理論なんて全く理解する気もないし
だから理解できないんでしょう
大学に行っても無駄な存在
まあそんなの工学部にはザラにいるけどねｗ

＞スレ主さんには良い趣味を感じるが
　典型的な🐎🦌

およそ、おミソは嘘つきである
嘘をいい趣味というのは
嘘を真にうける正真正銘の🐎🦌

やたらもったいぶったHN
露骨な自画自賛
どこぞのHPの文章の丸写し
大学教授だというだけで露骨に諂い
ちょっと誤り指摘されるとムキになって反論
しかも反論できなくなると露骨な人格攻撃

こんな畜生のどこが「いい趣味」か？
笑わせるな🐎🦌

大学数学の理論が分からん社奴は碁でも打ってろ
数学に関わってくるんじゃねえ

ヲタがニワカを嫌うのは、
好きでもないのに好きなふりして
かっこつけたがってる根性が卑しいから

このスレと純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレって、大して違わないし、
スレ主１と語り合うだけなら、一つでいいから、前者を後者に統合しない？

もちろん、後者を維持するという条件で　
どうよ？

１．スレ主１は自らが数学を語るスレッドを１つに限って立てる権利を認める
２．スレ主１が自らが建てたスレッドの名称を決める権利を有する
３．スレ主１は自らが建てたスレッドにおいて自らが決めたHNをつけて書き込む権利を有する
４．スレ主１は自らが建てたスレッドにおいてリンクおよびリンク先のコピー・ペーストを書き込む権利を有する

以上４箇条を認める条件で、スレ主１は自らが数学を語るスレッドを１つに絞るよう提案したい

提案の趣旨として、スレ主１と他の読者が語り合うスレッドが２つ以上あると面倒ということがある
１つに絞ることで、スレ主１も集中できると考えるが、如何？

重ねていうが、スレ主が１つスレッドを立てる権利は保証するし
その名称を決める権利、HNを名乗る権利、リンク＆コピーペーストを行う権利を保障する

一方、スレ主の発言が数学的に誤りを含む場合、我々がそれを指摘する権利を有する
我々はその際、スレ主の人格を毀損する発言は行わないし、
また、スレ主は我々への反論に際し、我々の人格を毀損する発言も行わない

スレ主１とスレ主が建てたスレッドに書き込む人の両者が、上記条件を厳守することで、
スレ主１は数学を語る目的で建てるスレッドを１つに限定していただきたいが、如何か？

スレ主１が>>890の提案を却下することはもちろん可能であるが
その場合、スレ主１と我々の関係が今より改善することは期待できない

つまり、我々がスレ主１のスレッド乱立行為を「数学板に対する迷惑行為」と考える限り
我々とスレ主１の数学板での共存は不可能であり、我々はスレ主１を数学板から排除するため
いかなる手段に出ることも辞さない、ということになる

一方、スレ主１がスレッドを１つに限定するのであれば
我々は、スレ主１のそのスレッド内での自己顕示行為を
数学における明らかな誤りを触れ回らない前提で容認し
両者の関係を「改善」する

本来、スレッドを立てる数に制限はないが、
それはそれぞれが明確に異なる目的を持ち
実際、異なる目的で使用される場合に限られる

現状は、異なる目的で使用されているとは言えないので
これを１つにまとめることを提案するものである

また、ＨＮの使用、書き込みのスタイルも制限はないが
それはどのスレッドでも同様のスタイルを実施する
「マルチポスト」を推奨するものではない
このような行為は行き過ぎた自己顕示であるので
１スレッドに限定することを提案するものである

「自由」は無制限に許容されるものでない
公序良俗に反すると判断される場合には制限される
我々としてはスレ主１の自己実現を完全に否定することまでは望まない
しかし同様のスタイルを２スレッド以上で実行されることも望まない
どうかご理解いただきたい

提案に関する返答はこのスレで行っていただきたい
くれぐれも何の返答もなしに、新スレッドを立てる行為はやめていただきたい

以上

反応
https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1745503590/141

反発は想定内であるが
一月間 自分の書きたいことを書いてこのオレのスレ以上の質と賑わいを実現してみろ
とかいう書き込みを見ると、自分がやってることがただの炎上商法にすぎない
という自覚が決定的に欠如しているようである

炎上商法（炎上マーケティング）とは、
意図的に批判や非難を浴びるような発言で
注目を集め話題を広げるマーケティング手法。

炎上マーケティングは、短期的な注目度を上げる効果は期待できるが、
イメージの悪化や法的リスクを伴う可能性もあるため、慎重な判断が必要。

>>868-870
やはりオチコボレのおサルには答えられなかったか
数学板で発言したいなら数学勉強すればいいのに、なぜか頑なに勉強しないんだよなあ

スレ主１は数学がどういうものか誤解している気がする
彼は数学とは問題の解決方法だと思っているようだが全然違う
彼は数学の専門語で検索して出てきた情報をコピー＆ペーストして
他人に対して知った被ることでマウントしたいようだがうまくいってない
中身について理解してないのがその最大の理由である
大学１年の微分積分と線形代数が理解できてないので
数学のどの分野の情報を読んでも全く理解できないだろうと思われる
勉強しないのではなく勉強したくてもできないというべきか
このままでは数学板で何を発言しても他人から誤りを指摘されるだけなので
当人にとってもちっとも楽しくないと思われる
大学１年の微分積分と線形代数からやり直すのが一番である

まず大学数学は高校までの数学とは全く目的が違うことを理解すべきである

そして大学数学の教科書のどんな記載も丁寧に読み、論理的に理解する努力を怠らない覚悟をもつ必要がある

そうしない限り、スレ主１が大学数学を理解することは決してない、と断言する

793

>ある数学の対象があったとして
複数の証明を見ておくことは

数学で基本的な同値関係同値類の概念を
理解できず本質的ではないと断言する
>1setaが、複数の証明を見てもただ証明のコピペ貼りで誤魔化すしかない。

有理数が完備でないから実数を構成するのに、有理コーシー列の収束先で実数を構成するは草
有理数、実数、コーシー列が根本的に分かってないから一から勉強し直せよオチコボレ

>>901
結論

誤　有理コーシー列の収束先
正　有理コーシー列の同値類

有理数を「すべての項が同じ有理数の列の同値類」として埋め込むことで
有理コーシー列の同値類としての実数の中に有理数が入る

また、実数を　有理数の切断　としても定義でき、
有理コーシー列の同値類としての定義と一致する

”スレ主”１は、これだな

機能的非識字
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A9%9F%E8%83%BD%E7%9A%84%E9%9D%9E%E8%AD%98%E5%AD%97

>>904のリンク先の引用

機能的非識字（きのうてきひしきじ、英: functional illiteracy）とは、
日常生活において、読み書き計算を機能的に満足に使いこなせない、
文字自体を読むことは出来ても、文章の意味や内容が理解出来ない状態を指す。
文章理解して読み書き出来ること、計算を使いこなせる状態である
機能的識字、機能的リテラシーと対義語的に用いられる。
これに対して、簡単な読み書きや計算のみできる状態を識字、
ごく簡単な文章の読み書きや計算もできない状態は非識字という。

>>905のつづき
通常、知的能力や学習能力に障害があったり（ディスレクシアなど）、
あるいは読み書き学習の機会が与えられなかった為に、
会話はできても簡単な読み書きにも支障をきたすことを非識字という。

対して機能的非識字は、こうした簡単な読み書きに関しては問題なく行うことができ、
日常生活において登場する一定水準以上の文字・文章に対する適切な発音・音読もできるが、
その内容を期待される水準まで（字面を追ってある程度は理解できても）
正しく理解することができないという症状を見せる。

これは単に表音文字などで音読できるが単語の意味はわからないために文章が理解できないということではなく、
個々の単語の意味がわかる場合でも、文章の正確な理解ができないという読解能力の支障を指す。
結果として、機能的非識字者は契約書の理解や、書籍・新聞記事の読解が完全にできておらず、
社会や政治への参加に支障をきたしていたり、酷い場合には日常生活にも問題が生じている。

さらに、周りの人間のみならず、当の本人すらも見かけの識字能力に問題がないがために、
機能的非識字によって支障が出ているということが把握されない（自覚していない）という問題を抱え、
識字率の高い先進国であっても一定以上の機能的非識字者が存在することが指摘されている。

>>906のつづき
「ビジネス」誌によれば、
アメリカでは1500万人の機能的非識字成人が
21世紀の初めに職についていた。

American Council of Life Insurersの報告では
フォーチュン誌による全米トップ500企業の75%が
自社の労働者に何らかの補習トレーニングを提供していた。

全米で、3000万人（成人の14%）が
単純な日常的識字活動ができない状態である。

>>907
合衆国教育省教育統計センター（National Center for Education Statistics）はより詳しいデータを提供している。

ここではリテラシーは、
・文章リテラシー（prose literacy）、
・図表リテラシー（document literacy）、
・計算リテラシー（quantitative literacy）
の、3つのパラメータに分けられ、それぞれのパラメータには、
・基礎未満　below basic
・基礎　basic
・中庸　intermediate
・優秀　proficient
の4段階がある。

たとえば、
文章リテラシーの基礎未満の場合は、短い文章を見て簡単な意味を理解するレベル、
計算リテラシーの基礎未満では簡単な加算ができるレベルである。

アメリカでは、成人人口の
14%が文章リテラシー基礎未満、
12%が図表リテラシー基礎未満、
22%が計算リテラシー基礎未満
だった。

この3分野すべてで優秀となったのは、人口のたった13%であった
このグループは、2つの論説の観点を比較し、血圧・年齢・身体活動に関する図表を読み取り、
食品の重量あたりの単価を計算・比較することができるレベルである。