>>837
>実数が未定義なら有理コーシー列は収束しないという初歩の初歩も分かってないおサルが

やれやれ
下記の ”高校数学の美しい物語 コーシー列”
『有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます』
を 百回音読してねｗ
これが、下記Terence Taoの 3.The “post-rigorous”、 stage intuition, and the “big picture”

確かに、>>777より https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原隆（九州大） では
『3.2 コーシー列による実数の定義
無限項もある数列が実数だということになったので，事態はより深刻かもしれない．
実のところ，ここではα “=” lim n→∞ an (3.2.5)を狙っているのである．つまり，「実数は有理コーシー列の同値類」とは言ったけども，実際には「実数はその有理コーシー列の極限」と定義したいのだ．しかし，今は実数を定義している途中であるから，考えているコーシー列は有理数の中に極限を持つとは限らない．（いや，正直，有理数の中に極限を持たないコーシー列の方が濃度の意味で多い．）これでは上の極限を使った定義はできない．仕方ないので，頭の中では「この数列の極限が実数なんだよ」と思いつつ，「この数列の同値類が実数」と言っているのである』

ここの 原隆が行っている 一旦 「実数は有理コーシー列の同値類」として → 「この数列の極限が実数なんだよ」を示す
これは、一つの証明の手筋として 覚えておくことではあるだろう、The “rigorous” stage (Tao) としてね
なお、実は有理数を完備化する方法は1通りではありません

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2844
高校数学の美しい物語
コーシー列 更新 2023/08/31

展望〜距離空間への一般化
有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます
実は有理数を完備化する方法は1通りではありません！ 興味がある人は
p 進数 で調べてみましょう
また関数列に対してもコーシー列を考えることができます。これはまた次の機会にお話します。

つづく