>>850 補足

b)有理数のコーシー列の収束先を元として追加する（実数の集合が得られる）

これで、有理数のコーシー列の収束先を元として追加してできる集合をXと名付けるとして
集合をXが、実数Rと数学的に同じであることを言えば良い

そのために、>>838 実数の構成に関するノート∗原隆（九州大） では
有理数のコーシー列の収束先を元 を、一旦 コーシー列の同値類として 考えて
そこから 再度 極限を定義して それが 有理数のコーシー列の収束先を元 だとして
集合Xが、いわゆる実数Rと数学的には 同値であると導いているだけのこと

この原隆の手法は、証明の手筋だね

“big picture”は、”b)有理数のコーシー列の収束先を元として追加する（実数の集合が得られる）”で
なんら 不都合はない