>>412
この問題では、m√3-n√2が無理数であることを示す必要があります。m,nは正の整数です。

背理法を使って証明します。

m√3-n√2が有理数であると仮定します。この場合、あるr∈Qが存在して、
m√3-n√2 = r

これを変形すると：
m√3 = r + n√2

両辺を2乗します：
m²・3 = r² + 2rn√2 + n²・2

整理すると：
rn√2 = (m²・3 - r² - n²・2) / 2

左辺はrn√2なので、√2に有理数をかけたものです。右辺は有理数どうしの演算結果なので有理数です。

つまり、rn√2は有理数であるということになります。rnは有理数どうしの積なので有理数です。よって、√2は有理数になってしまいますが、これは√2が無理数であることに矛盾します。

したがって、m√3-n√2は無理数です。

証明終了。